относительно этой оси. Поэтому проекции вихря скорости есть удвоенные угловые скорости, с которыми затвердевшая жидкая частица вращается вокруг осей, параллельных осям координат.

§ 12. ВИХРЕВЫЕ ЛИНИИ, ВИХРЕВЫЕ ТРУБКИ

Как было установлено, в общем случае объем жидкой частицы при своем движении деформируется и поворачивается, как

целое, с угловой скоростью yQ. Чтобы лучше представить себе

эту совокупность вращающихся частиц, вводят понятие вихревых линий. Вихревой линией называется линия в данный момент времени, касательная в каждой точке которой совпадает с направлением вектора вихря Q в этой точке. Записывая условие коллинеарности элемента вихревой линии dr и вектора й, получаем дифференциальные уравнения вихревой линии

dx dy dz

Six ~ iiy ~ iz

Если взять кривую АВ, не являющуюся вихревой линией, и через каждую ее точку провести вихревую линию, то получим вихревую поверхность. Вихревые линии, проведенные через точки замкнутого контура, образуют вихревую трубку. Если замкнутый контур малый (бесконечно малый), то вихревую трубку называют элементарной трубкой, или вихревой нитью,

§ 13. ЦИРКУЛЯЦИЯ СКОРОСТИ

Возьмем в жидкости некоторую кривую /. Пусть v - скорость частиц жидкости в точках этой кривой, vi - проекция v на касательную к ней. Циркуляцией скорости по некоторой кривой АВ называется вычисленный вдоль этой кривой интеграл

Г = d/ = J% cos (vTdr) dl,

где dr - вектор перемещения вдоль кривой dr = dl. Так как

ycos(v, dr)dl = Vdr, то выражение для Г часто записывается в виде

V dr = \xdx-\-Vydy + Vz dz.

Если контур замкнутый (точки Л и В совпадают), то используют такую запись:

Г = (J) V dr. Направление обхода должно быть указано.

2 Зак, 1031 33

Теорема Стокса устанавливает связь между криволинейным интегралом по замкнутой кривой и интегралом по поверхности, ограниченной этой кривой. Применяя теорему Стокса к циркуляции Г, получаем

§ V rfr = J J (rot V n) d5 = J J Q dS.

I s s

Интеграл (Й n) rfS = Q dS называют потоком вихря

s .s

через поверхность S.

§ 14. СКОРОСТЬ ОБЪЕМНОГО РАСШИРЕНИЯ ЖИДКОСТИ

Рассмотрим в момент / некоторую массу жидкости в объеме т, ограниченном поверхностью 5. В момент t -\- М та

л<е масса жидкости будет занимать объем т, ограниченный поверхностью S. Скоростью объемного расширения жидкости в данной точке называется предел

/= lim

t->o

т - т

(14.1)

Рис. 4.

Величина есть относительное при-

ращение объема в единицу времени. Вычислим величину /, определяемую формулой (14.1). Имеем

--\\\d.-\\\d.==\\\d.. (14.2)

Так как М мало, то объем т -т представляет собой тонкий слой между поверхностями S и S. Тогда элемент объема dx можно взять в виде (рис. 4)

dx = dsAn = dS Vn At,

(14.3)

где Art - расстояние по нормали между поверхностью S и поверхностью S, в которую перешли точки поверхности S за время At; Vn - проекция скорости точек поверхности S на внешнюю нормаль к ней. Теперь т -т можем записать в виде

J J J rfT = J J и ufS. Отсюда

x - x = At[[vndS и / = lim

(14.4)

Разделим обе части на At и устремим At к нулю. При этом А перейдет в Л, и мы получим

ЧГ=\\\-+\\- (15.5)

Как обычно, преобразуем интеграл по поверхности к интегралу по объему:

Avn dS=\A[Vx cos (rt, x) + Vy cos (n, y) + f г cos in, z)] dS -

Таким образом, для производной

dl dt

получим выражение

dx. (15.6)

Подынтегральное выражение можно преобразовать к другому виду, раскрывая производные от произведений:

дА ,

дА , дА , дА ,

+ Vy + Vz- +

dz dv.

дх ду dz Соответственно равенство (15.6) примет вид d f f Г . , f f f Г -4

dA It

+ A div V.

(15.7)

2. Вычисление

dl dt

в переменных Лагранжа.

Рассмотрим объем т выделенной массы жидкости в мо.мент /. Координаты частиц этого объема можно записать в виде

х = х(а, Ь, с. О, У = у{а, Ь, с, t), z==z{a, b, с, t),

где а, b, с - координаты этих частиц в момент времени to, когда декартовы координаты совпадали с координатами Лагранжа X = а, у = Ь, Z = с, а объем т занимал объем то. В интеграле (15.1), который нужно ди4)ференцнровать, перейдем от переменных х, у, z к переменным Лагранжа. Тогда

(15.8) 37