предположения, что внутри пограничного слоя Vx быстро стремится к предельным значениям при удалении от тела. Таким образом, вместо условий (1.18), (1.19) получают условия:

1) при 0<л:</ wl 0 = 0, t)j,j, o = 0,

2) t;,U.o = t/(0), (1.20)

у>й

3) Vx\y =U{x).

Имея распределение скоростей в пограничном слое, т. е. найдя решение уравнений (1.17), удовлетворяющее условиям (1.20), можно найти внешнюю границу пограничного слоя б(д;), используя (1.19):

Vxix, 6) = (1-E)U{X). (1.21)

§ 2. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОИ ОКОЛО ПОЛУБЕСКОНЕЧНОИ ПЛАСТИНКИ

Пусть пластина О д; < с обтекается потоком со скоростью V, направленной по оси х. Требуется найти течение в пограничном слое (рис. 57).

Берем уравнения теории пограничного слоя для случая установившегося движения

dvx , ,. dvx \ dp , дох

x дх

ду dVx

Рис. 57.

(2.1)

В этих уравнениях р - р{х)-известное давление в потоке идеальной жидкости на внешней границе пограничного слоя или (из-за тонкости пограничного слоя) известное давление на обтекаемом контуре в потоке идеальной жидкости.

Рассматриваемая нами пластинка не возмущает потока идеальной жидкости. Поэтому

р = р() = р = const.

Следовательно, нужно интегрировать уравнения

у ду ~~ ду

dVx Q

(2.2)

дх ду

Из этих уравнений нужно найти Vx и Vy. Искомые Vx и Vy являются решением системы уравнений (2.2), удовлетворяющим краевым условиям

у Iji-O, х>0

= 0,

(2.3)

\у~й{х), л>0 V.

Условие на внешней границе пограничного слоя (при у = б{х)) можно заменить условием при у = оо, х О и при д; = О, у > 0. Поэтому будем интегрировать уравнения (2.2) при условиях

x\x-o.y>o=V, (2.4)

Из первого уравнения (2.2) имеем

Подставляя (2.5) во второе уравнение (2.2), получаем

дУх дУх

дх ду дУх

Вместо системы уравнений (2.2) можно интегрировать уравнение в частных производных третьего порядка (2.6).

Сформулируем граничные условия для уравнения (2.6). Эти условия должны содержать лишь функцию Vx. Из равенства (2.5) следует, что для выполнения условия = О при у =

x>Q должен обращаться в нуль числитель в (2.5) предполагаем, что =И= о). Но так как при f/ = О, д; > О и Vx = Q, то это означает, что

= 0. (2.7)

у~0, х>0

Таким образом, уравнение (2.6) нужно решать при следующих граничных условиях:

= 0,

Л=0, х>0

х lj, o, л>0 Qyi

Прандтль заметил, что решение уравнения (2.6) можно искать в виде

°=(iT-;fr)- <2>

Если положим

1 = (2.10)

V2v Sx

и условимся обозначать штрихом дифференцирование по , то

дх I V2v

ду л/2\ л/X

3-1 2

ду 2vx

Подставляя эти равенства в (2.6), получим для () следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:

- (gr f дгдг ==0. (2. И)

Для того чтобы Vx в виде (2.9) было решением уравнения (2.6) при условиях (2.8), нужно найти решение обыкновенного

дифференциального уравнения (2.11), удовлетворяющее условиям

5Г(0) = 0, S (0)=0, (оо)=К.

(2.12)

Уравнение (2.11) не интегрируется в квадратурах, а применение численных методов более просто, когда условия поставлены на одном конце интервала.

Рис. 58. Имея в виду решение задачи

(2.11), (2.12), решим сначала вспомогательную задачу. Именно найдем сначала функцию i(), являющуюся решением уравнения (2.11) и удовлетворяющую условиям

,(0) = 0, ,(0)=1, Г(0) = 0.

(2.13)

Задача (2.11), (2.13) есть задача Коши для уравнения (2.11) при начальных данных (2.13). Задачу Коши сравнительно легко решать численными методами. Можно показать, что решение задачи (2.11), (2.13)-ограниченная функция, имеющая конечный предел на бесконечности. Функция \ () фактически была построена. Считаем, что i() нам известна и, в частности, известна постоянная С такая, что

,(оо) = С.

(2.14)

Имея i(l), построим функцию (Е). Пусть k - некоторая постоянная. Прямой подстановкой в уравнение (2.11) можно убедиться в том, что функция

(2.15)

ЯВЛЯ1Т1СЯ решением уравнения (2.11), если i() является его решением. Поэтому, имея i(), мы одновременно имеем одно-