параметрическое семейство решений уравнения (2.11), зависящее от параметра k и определяемое формулой (2.15).

Подберем k так, чтобы функция (), определенная (2.15), была решением нул<ной нам задачи (2.11), (2.12). Уравнение (2.11) выполнено. Из условий (2.13), по которым строилась i(l), функция (1) при любом k удовлетворяет первому и второму из условий (2.12). Поэтому нужно выбрать k так, чтобы было выполнено третье из условий (2.12). Записывая его, имеем

kgr, (оо) = V,

или с учетом (2.14) kC = V:

Следовательно,

(2.16)

есть решение поставленной задачи. В нем функция и кон-стагт а С известны.

Предположим теперь, что решение (2.16) для полубесконечной пластины можно использовать для приближенного вычисления сопротивления Rx пластины конечной длины / и ширины b (рис. 58). Очевидно,

Rx = 2\yz\[rJdx2b\\yx

(2.17)

Коэффициент 2 в (2.17) введен из-за того, что учитываем две стороны пластины. Имеем

- Г- 4-

ду дх С учетом (2.16) и (2.13) получим

dvx у0~ ду

(2.18)

у-о ду

Подставляя (2.19) в (2.17), найдем сопротивление пластины

ибо (i = pv.

Вычислим теперь коэффициент сопротивления Сх- По определению

Сх = . (2.21)

{pVS

Подставляя в (2.21) вместо Rx его выражение (2.20) и учитывая, что в нашем случае S = Ы, получим

С, = 1:- = 4 V2 . (2.22)

где = Re -число Рейнольдса.

Расчеты показывают, что 4 д/2 (-) 1,328. Таким образом,

С, = . (2.23)

При больших числах Re коэффициент сопротивления пластинки обратно пропорционален -y/Re. Формула (2.23) хорошо подтверждается экспериментом для чисел Рейнольдса Re:3.10. При больших значениях Re данные эксперимента сильно отличаются от значений, давае.мых формулой (2.23). Граница 3-10 условна, ее можно увеличить, если очень хорошо полировать пластину. Эксперименты показывают, что на некотором расстоянии от передней кромки ламинарный пограничный слой начинает переходить в турбулентный. Этот переход и приводит к нарушению картины, предписываемой формулой (2.23).

Вычислим теперь толшину пограничного слоя, положив в (1.21) величину 8 = 0,005. Имея для Vx формулу (2.16), можем написать

С V V с V2v л/л: / Из последнего уравнения получаем

б(х) = 5,6д/. (2.24)

Формула (2.24) также дает возможность понять, почему формула (2.16) неверна при больших Re (или /). Толщина пограничного слоя растет с ростом х, и при очень больших х нарушаются предположения теории пограничного слоя. Формула (2.24) хорошо согласуется с экспериментом в ламинарной области.

Замечание. Часто используют местное число Ре(д;), ко-

торое можно определить равенством Re(x)==-. Тогда

6{х) 5,6 X VRe (х)

ГЛАВА XXII

ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА

В предыдущих главах было выяснено, что для установившегося течения вязкой жидкости существенно значение числа Рейнольдса, причем при отсутствии массовых сил (g - 0) число Ре является единственным параметром, характеризующим с точностью до подобия рассматриваемое течение. Поэтому когда не удается найти точное решение задачи, в общем случае развивают приближенные методы, соответствующие тем или иным предположениям относительно числа Рейнольдса. Такие приближенные методы развиты в предположении, что Ре 1 и Re < 1.

Ранее исследовался случай больших чисел Re. В данной главе мы будем рассматривать течения вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса Re < I. Это означает, что к рассматриваемому виду относятся медленные движения вязкой жидкости, движения жидкости с большой вязкостью, движения малых тел в сравнительно вязких жидкостях.

§ 1. УРАВНЕНИЯ СТОКСА

Для получения уравнений движения вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса будем исходить из общей системы уравнений Навье - Стокса

- = --gradp + vAv, div v = 0.

Будем рассматривать внешнюю задачу. Пусть характерный размер обтекаемого тела а, а скорость на бесконечности у > = V. Введем безразмерные независимые переменные и безразмерные искомые функции

После перехода к новым независимым переменным и новым искомым функциям получим

ди , да , ди , ди j тт .

dux duy duz (-

dl д dl