При этом искомая функция и удовлетворяет на бесконечности

условию 00 = Re. Модуль искомой величины = и = по

существу является местным (вычисленным в данном месте) числом Рейнольдса. Предположение о малости чисел Рейнольдса означает, что

< 1,

< 1,

< 1, mJ<1.

(1.4)

Поскольку безразмерная скорость и ее компоненты Ux, Uy, Uz меняются на величины порядка и.х самих на расстояниях порядка единицы (характерного размера), то в этих течениях наряду с (1.4) имеем

< 1.

(1.5)

Из (1.4) и (1.5) следует, что произведения вида

являются величинами второго порядка малости. Пренебрегая в уравнении (1.3) величинами второго порядка малости по сравнению с величинами первого порядка малости, получим уравнения

ди J тт I и , ди , ди

= - grad П + + -5;;+

д-(\

(1.6)

dl дr

Уравнения (1.6) есть уравнения движения вязкой жидкости при малых числах Re, записанные в безразмерном виде. Если теперь в уравнениях (1.6) снова вернуться к размерным величинам, то будем иметь систему

ду dt

1 , , / дН , dv , dv \ = --gradp + v( + + -J,

дУх IT

ду dv.

(1.7)

Уравнения (1.7) -уравнения Стокса для движения вязкой жидкости при малых числах Re. Иногда их называют уравнениями Стокса для медленных движений. В случае установившихся движений они имеют вид

ду . дЧ дх +

x d\\ ,

dVx ~дх

(1.8)

Системы (1.7) II (1.8) отличаются от пс.ходны.х уравнений (1.1), в частности, тем, что они линейны, поэтому строить их решение гораздо проще. Благодаря этому они решены во многих частных случаях.

§ 2. ОБТЕКАНИЕ СФЕРЫ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА

Пусть сфера г = а обтекается установившимся потоком, скорость которого V на бесконечности направлена параллельно оси X. Чтобы решить задачу об обтекании сферы при малых числах Re, нужно найти решение системы (1.8), удовлетворяющее граничным условиям:

на сфере .v + г/ + 2; = а {г = а): vl;. a = 0,

Vx\ra = 0, У, = а = 0, У,и = 0, (2.1)

на бесконечности:

VxL-v, y,L = 0, y,L = 0, pL = p. (2.2)

Вообще говоря, решение можно получить разными способами. Наиболее естественным является следующий ход решения задачи. Вводят сферические координаты г, 6, X и записывают систему уравнений и граничные условия для Vr, ve, и р. Из условий симметрии следует, что

v = 0, у, = и,(г, 8), v = v{r,Q), p = p(r,Q).

Решение задачи отыскивают в виде

Or = f (г) cos 9, У(, = g-(г) sin 9, р = \ih (г) cos Q. (2.3)

Подставляя (2.3) в (1.8), получают для неизвестных функций f(). §()< b{r) систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Интегрируя эту систему уравнений и учитывая граничные условия, находят функции f(r), g{r), h(r), а следовательно, и решение (2.3). Это решение (мы его выпишем для Vx, Vy, Vz) будет иметь вид

/, За \ 3 Vax (. а\

Уи= -

3 Vaxz

(2.4)

3 Vax Р = Рос - у -т?~

где г=дЛ?+М-2. Можно доказать, что функции (2.4) - единственное решение задачи.

Имея распределение давления и скоростей около сферы, можно вычислить силу сопротивления Rx, а следовательно, и коэффициент сопротивления Сх сферы. Главный вектор сил

Формула Коши для Тл для точек поверхности сферы г = а может быть записана в виде

т = Хх cos (Сх) + Ху cos (/Су) + tz cos (tCz) = х + Гу- + Х,. Соответственно проекции вектора R

S S d5= S S (I Ххх + Ьх +Xzx)

(2 5)

Ry=\\xnydS, Rz=\\xnzdS.

Компоненты тензора напряжений могут быть вычислены с использованием решения (2.4) по известным формулам

(dv, dVc, \

Подставляя (2.6) в (2.5), после вычисления получим Ry = = Rz = 0,

Rx-=6niiaV. (2.7)

Формула (2.7)-известная формула Стокса для сопротивления сферы при малых числах Re. Сила сопротивления сферы пропорциональна вязкости радиусу сферы а, скорости V. Коэффициент сопротивления сферы при малых числах Re

(При больших Re имеем пограничный слой, Сх~-4=. при

еще больших Re с хорошей точностью Сх постоянен.) Решение (2.4) и формулы (2.7), (2.8) хорошо подтверждаются экспериментом до чисел Re < у (решение получено в предположении Re < 1) Формула Стокса имеет большое применение.