При проектировании конструкций перед инженером-проектировщиком стоит задача нахождения распределения напряжений, или поля напряжений. Иногда, чтобы узнать, нарушаются ли заданные зазоры между деталями конструкции, инженеру требуется вычислить перемещение лишь в определенных точках системы. В отдельных же случаях, особенно если нагрузки и поведение конструкции зависят от времени, проектировщику необходимо подсчитать полное распределение перемещений, или поле перемещений. Для рассчитанного поля напряжений должны выполняться в каждой точке условия равновесия, а перемещения при этом должны быть непрерывны (т. е. должны выполняться условия совместности).

Приступая в некоторой задаче проектирования к отысканию напряжений и перемещений, проектировщик должен сначала задать определяющие уравнения, которые в той или иной форме обеспечивают выполнение условий равновесия и совместности. Возникающая в связи с этим основная трудность, не говоря уже об аспектах разрешимости выбранных уравнений, состоит в решении вопроса: могут ли данные уравнения адекватно отражать выставляемые при проектировании требования к конструкции. Причем сложность геометрии конструкции, а также характера нагрузок и свойств материала должна быть учтена в этих рассмотрениях.

Принимая во внимание возникающие из-за описанных выше обстоятельств различия в поведении конструкции и ее модели, инженер приступает далее к решению выбранных уравнений. Если изучаемый объект является двумерным или трехмерным, то его поведение описывается уравнениями с частными производными. Весьма редко существуют точные решения подобных уравнений, н ненамного чаще оказывается возможным строить адекватные приближенные решения с небольшим количеством членов аппроксимации. Для получения достаточно точного решения требуется большое число этих членов.

Появление электронных вычислительных машин коренным образом изменило ситуацию в области решения дифференциальных уравнений с частными производными. Большинству инженеров-практиков в настоящее время стало доступным численно исследовать поставленные перед ними задачи. При этом число учитываемых членов ряда, представляющего поле напряжений или перемещений, может быть велико. Используются также конечно-разностные методы, в которых дифференциальные уравнения аппроксимируются с помощью дискретных значений величин, заданных в выбранных точках. Преимущество этих методов вытекает из длительной истории их развития, результатом которого стало появление теорем сходимости. Кроме того, возникающие в этих методах алгебраические уравнения, которые необходимо численно решить, часто имеют особенно простой вид.

Метод конечных элементов является аналитической процедурой, интенсивная разработка которой велась в течение сравнительно короткого промежутка времени. Ключевая идея метода при анализе поведения конструкций заключается в следующем: сплошная среда (конструкция в целом) моделируется путем разбиения ее на области (конечные элементы), в каждой из которых поведение среды описывается с помощью отдельного набора выбранных функций, представляющих напряжения и перемещения в указанной области. Эти наборы функций часто задаются в такой форме, чтобы удовлетворить условиям непрерывности описываемых ими характеристик во всей среде. В других случаях выбранные представления полей не обеспечивают непрерывности и, тем не менее, дают возможность получить удовлетворительное решение. При этом в отличие от полностью непрерывных моделей, нет полной уверенности в сходимости решения. Если поведение конструкции описывается единственным дифференциальным уравнением, то получить приближенное решение этого уравнения можно как методом конечных элементов, так и с помощью техники разложения в ряды или конечно-разностных схем. Если же конструкция в целом неоднородна и состоит из большого количества отдельных конструктивных элементов, поведение каждого из которых описывается своим дифференциальным уравнением, то в этом случае, как правило, можно непосредственно применить лишь метод конечных элементов.

Наряду с указанными альтернативными методиками численного решения прикладных задач механики конструкций в методе конечных элементов требуется строить и решать систему алгебраических уравнений. Особые преимущества метода заключаются в удобстве формирования уравнений и возможности представления совершенно нерегулярных и сложных конструкций и условий нагружения.

Как отмечалось выше, метод конечных элементов стремительно развивается. Начиная с 1955 г. метод распространился с второстепенных областей на наиболее перспективные направления числен-

\.\. Краткая история развития метода конечных элементов 17

ного исследования задач математической физики. Термин математическая физика используется здесь для обозначения широкого круга аналитических задач - расчет конструкций, теплопередача, течение жидкости, распространение электромагнитных волн - и при этом не имеется в виду, что указанные задачи стоят далеко от проблем, возникающих на практике и при проектировании конструкций. Популярность метода и интерес к нему как раз и объясняются указанной выше возможностью отражать реальные аспекты, возникающие в прикладных задачах проектирования.

Распространение практических применений метода конечных элементов является следствием развития технологии в середине пятидесятых годов. Основной указанной выше предпосылкой развития метода является возможность автоматически эффективно построить и решить систему алгебраических уравнений высокого порядка. Распространение электронных вычислительных машин в середине пятидесятых годов позволило удовлетворить этим требованиям. В течение этого же периода выкристаллизовались теоретические концепции метода конечных элементов. Представляется интересным проследить далее историю развития этих концепций.

1.1. Краткая история развития метода конечных элементов

Несмотря на то что периоду с 1850 по 1875 г. непосредственно предшествовал период выдающихся достижений таких представителей французской школы теории упругости, как Навье и Сен-Ве-нан, все же по логике вещей именно этот период можно считать отправной точкой нашего обзора. В это время благодаря усилиям Максвелла [1.1], Кастильяно [1.2] и Мора [1.3] были выработаны основные концепции теории анализа стержневых конструкций. Эти концепции являются краеугольным камнем матричных методов строительной механики, которые окончательно оформились лишь спустя 80 лет и в свою очередь явились основой метода конечных элементов.

Развитие теории и вспомогательных дисциплин, относящихся к методу конечных элементов, было особенно слабым в период с 1875 по 1920 г. Это происходило в основном из-за наличия реальных трудностей при решении алгебраических уравнений, как только число неизвестных становилось большим. Необходимо, кроме того, заметить, что для конструкций, представляющих наибольший интерес в то время,- рам и ферм - почти всегда применялся под-

* В используемой нумерации разделов, ссылок, рисунков и перекрестных ссылок для уравнений первая цифра соответствует главе, а последующие цифры - очередности внутри главы.