(е) (d)

Рнс. 2.4. Сравнение особенностей расчета фермовых консхрукций матричными методами строительной механики и методом конечных элементов, (а) Ферма; (Ь) типичный фермовый элемент; (с) тонкая пластина; (d) конечно-элементное представление; (е) типичный конечный элемент

Для пояснения причин, обусловливающих применение идеализации, показанной на рис. 2.3(c), можно воспользоваться задачей проектирования, представленной на рис. 2.4. Если требуется перекрыть пролет между точками А и В фермовой конструкции, изображенной на рис. 2.4 (а), то для расчета удобно применить матричные методы механики конструкций, которые, как уже отмечалось, предполагаются известными читателю. Из фермы выделяются отдельные элементы, и для типичного осевого элемента, изображенного на рис. 2.4(b), выписываются соотношения, связывающие силы и перемещения в узлах. Реальную ферму можно заменить теперь математической моделью, рассматривая равновесие сил в каждом узле.

Предположим теперь, что пролет необходимо перекрыть тонкой пластинчатой конструкцией, изображенной на рис. 2.4(c). Описанная выше процедура применима и для данной задачи, если, согласно рис. 2.4(d), конструкция моделируется в виде совокупности треугольных элементов, изображенных на рис. 2.4(e), для которых определены соотношения, связывающие силы и перемещения в узлах

начинается с определения напряженно-деформированного состояния, показанного на рис. 2.3(b). Затем выполняются алгебраические преобразования, приводящие к математической модели, показанной на рис. 2.3(c). Основная идеализация должна осуществляться таким образом, чтобы модель аппроксимировала реальную конструкцию при уменьщении размеров элементов.

2.2. Идеализация с помощью основных конечных элемент9В 43

элемента. Затем аналогично численному исследованию фермовых конструкций следует математическое моделирование пластинчатой конструкции. Гл. 3 посвящена описанию этой процедуры.

Существуют важные различия между представлениями фермой и пластиной. Суммируя покоординатно силы в каждом узле элемента фермы и приравнивая результирующие к соответствующим прикладываемым нагрузкам, мы полностью удовлетворим условиям равновесия внутри фермы. Соединение элементов фермы полностью обеспечивает перемещение фермы как конструктивного целого без каких-либо разрывов, смещений. Решение задачи для фермы является точным в рамках предположений о том, что соединения осуществлены при помощи шарниров и отсутствуют деформации изгиба. Если каждый из элементов фермы разбить на более мелкие элементы и рассчитать конструкцию с учетом этого более точного представления, то решение не изменится.

Однако решения методом конечных элементов для сплошных конструкций, таких, как тонкая пластина, изображенная на рис. 2.4(e), пространственное деформируемое тело, изгибаемая пластина и оболочка, не являются точными. Для иллюстрации этого утверждения предположим, что треугольные элементы, изображенные на рис. 2.4(d), построены в предположении, что для поля перемещений вдоль сторон элемента имеет место квадратичный закон распределения. На рис. 2.5(a) изображено деформированное состояние двух выбранных элементов. Если соединить элементы, как указано выше, то, вообще говоря, будет нарушена непрерывность перемещений вдоль линии, соединяющей два элемента (см. рис. 2.5(b)). Соединения в вершинах элементов обеспечивают непрерывность только в этих точках. Квадратичная функция однозначно определяется по трем точкам, а так как только две концевые точки соприкасающихся сторон участвуют в определении формы смещений вдоль ребра, перемещения краев элементов будут различаться, за исключением некоторых частных случаев. Если использовать большее количество элементов, как указано на рис. 2.5(c), то различие в смещениях на сторонах соседних элементов станет меньше и вызванная указанным обстоятельством погрешность решения также уменьшится. Эта ошибка конечна для любого конечного числа элементов, поэтому решение является приближенным.

Аналогичные доводы остаются в силе и для условий равновесия. Силы в узлах статически эквивалентны поверхностным силам или распределенным нагрузкам. В плоском случае, как показано на рис. 2.5(d), имеются две компоненты поверхностных усилий: Т - нормальная компонента и -касательная компонента. Представим себе (см. рис. 2.5(d)), что нормальные усилия и прилежащих элементов А тл. В постоянны вдоль соприкасающихся сторон и каждое распределение усилий определяется параметрами, заданными в вершинах соответствующих элементов. Следовательно, поверх-

ностные усилия прилежащих элементов будут, вообще говоря, различны и условия равновесия в общем случае не выполняются вдоль соприкасающихся сторон. Аналогичная ситуация может существовать и для тангенциальных усилий Т. Итак, узловые силы только

----перемещения Зазор

У. V

Рис. 2.5. Источники ошибок в конечно-элементном анализе, (а) Деформированные очертания отдельных элементов; (Ь) разрыв перемещений вдоль общей границы соседних элементов; (с) уменьшение различия в перемещениях в результате измельчения сетки; (d) нормальные компоненты поверхностных усилий для отдельных элементов; (е) разрыв значений нормальных компонент поверхностных усилий на общей границе двух соседних элементов.

приближенно удовлетворяют условиям равновесия в дискретных точках и опять существует аналитически предсказуемая ошибка, которую можно уменьшить путем улучшения конечно-элементного разбиения.

Следует отметить, что последовательное улучшение (измельчение) сетки элементов, каждый из которых строится на основе одних и тех же предположений относительно напряжений или перемеще-