Stress Analysis -Proc. of Symp on High Speed Computing of Elastic Structures, Univ. of Liege, Belgium, 1970, 1, p 413-432 10.14 Ergatoudi ! J., Irons В .M , Zienkiewic? О С. Three-Dimensional Analysis

of Arch Dams and Their Foundations -Symp. on Dams at the Institution of

Civil Engs , London , Mar 1968 10.15. Irons В M Quadrature Rules for Brick Based Finite Elements-Int J. Num

Meth Eng , 1971, 3, No 2, p 293-294 10.16 Pawsey S F., Clough R W Improved Numerical Integration of Thick Shell

Finite Elements-Int J Num Meth Eng, 1971, 3,p 575-586 10 17 Zienkiewicz О С , Taylor R. L., Too J. M Reduced Integration Technique

m General Analysis of Plates and Shells-Int J Num. Meth Eng, 1971,3,

p 275-290.

10 18 Wilson E et al Incompatible Displacement Models.-In Numerical and Computer Methods in Structural Mechanics, S J Fenves et al (eds ) -New York, N Y : Academic Press, 1973, p. 43-57.

10.19. Gallagher R H , Padlog J., Bijlaard P P Stress Analysis of Heated Complex Shapes.-ARS J., May 1962, 32, No 5, p. 700-707.

СПЛОШНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ: ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ

На практике при проектировании конструкций существуют две ситуации, когда напряженное состояние в теле трехмерно, но его можно исследовать с помощью двумерных представлений; это -соответственно плоское деформированное и осесим-метричное состояния. В данной главе рассматриваются указанные ситуации, а также особый случай несжимаемых материалов, характерный для всех классов упругих конструкций.

Плоское деформированное состояние возникает тогда, когда размер конструкции в одном из направлений, скажем в направлении оси Z, велик по сравнению с размерами в других направлениях (в направлении осей х и у), а прикладываемые нагрузки действуют в плоскости X - у и не меняются в направлении г. Пожалуй, наиболее важные практические приложения - это представления, связанные с расчетом плотин, туннелей и других геотехнических сооружений, хотя в плоском деформированном состоянии при определенных нагрузках находятся и такие небольшие по размеру конструкции, как стержни и ролики. Основные аспекты конечно-элементного представления для анализа плоской деформации описаны в разд. П.1.

Еще один частный класс трехмерных задач порождается осесимметричными конструкциями. Многочисленные инженерные объекты в области машиностроения, ядерной и аэрокосмической промышленности, включая бетонные и стальные резервуары, ядерные реакторы, роторы, поршни, оболочки и ракетные двигатели попадают в класс осесимметричных конструкций. В отличие от общих трехмерных задач здесь для задания соотношений используются цилиндрические, а не прямоугольные координаты. В некоторых случаях получающиеся упрощения выражений компенсируются за счет усложнения процесса интегрирования энергии деформации при получении матрицы жесткости.

Осесимметричные конструкции часто нагружаются осесимметрич-но, что позволяет еще больше упростить процесс формулировки

элементов. Этот случай рассмотрен в разд. 11.2. Однако в некоторых задачах проектирования нагрузки несимметричны. В таких случаях исследователь должен решить, будет ли он разлагать рассматриваемые представления по гармоникам в окружном направлении или использовать аппарат обшего трехмерного анализа. С точки зрения экономичности вычислений целесообразно использовать первый подход, который подробно описывается в разд. 11.3.

Для несжимаемых материалов, таких, как резина, с коэффициентом Пуассона д.=0.5, характерные трудности связаны с построением выражений для потенциальной энергии, так как члены матрицы преобразований от деформаций к напряжениям делятся на величину (1-2 р.). Однако, чтобы обойти эти трудности, можно легко модифицировать традиционный подход, основанный на рассмотрении потенциальной энергии. В этом случае также выгодно использовать подходы, базирующиеся на рассмотрении дополнительной энергии или функционала рейсснеровского типа. В разд. 11.4 изучаются оба класса операций при исследовании несжимаемых материалов.

11.1. Плоско-деформированное состояние

Условия плоского деформированного состояния изображены на рис. 11.1. Прямоугольный стержень, размер которого в направлении оси г больше, чем в направлениях х я у, закреплен так, чтобы исключить смещения вдоль оси г. Нагрузки Т зависят лишь от ко-

Т(х, У)

тттттттт

Сечение А-А

Рис. 11.1. Условия при анализе плоского деформированного состояния.

ординат X к у. Заметим, что при указанных условиях продольная деформация и касательные напряжения т и т равны нулю. Полагая в соотношениях между деформациями и напряжениями