Тел. ОАО «Охрана Прогресс»
Установка Видеонаблюдения, Охранной и Пожарной сигнализации.
Звоните! Приедем быстро! Установим качественно! + гарантия 5 лет.
 
Установка технических средств охраны.
Тел. . Звоните!

Главная  Проектирование конструкций 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104  105  106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

11.1. Плоско-деформированное состояние

(4.14) ej, равной нулю, получим для изотропного материала

°У

(11.1а) (11.1b) (11.1с)

Разрешая первое уравнение относительно а подставляя полученное выражение в последние два уравнения и добавляя соотношение между Уху и Tjy, получим

и после обращения матрицы ( о.

(1-f*) О

(11.2)

(J- )J

(1-1-ц)(1-2ц)

П-ц ц О 1 JX 1-JX О

О О

1-2ц 2

(11.3)

Линейные соотношения, связывающие перемещения и деформации, относятся лишь к заданию геометрических характеристик деформации и применимы как в случае плоского напряженного, так и плоского деформированного состояния. Следовательно, соответствующие соотношения содержатся в (4.7), и принципиальное различие между конечно-элементными формулировками для плосконапряженного и плоско-деформированного состояний заключается в различии законов, связывающих деформации и напряжения, т. е. законов (11.3) и (9.3). Поэтому здесь справедливы построения из гл. 9, включая использование концепции элементов высоких порядков, рассмотрение альтернативных вариантов с использованием в элементах дополнительных узлов и степеней свободы в виде производных от перемещений, а также применение изопараметрического представления геометрии элемента.

Другое отличие от случая плоского напряженного состоя1тя заключается в неравенстве нулю компоненты напряжения о. После нахождения узловых перемещений значение можно вычислить с использованием соотношений (11.3), (4.7), (11.1а).

Часто конструкции, изображенные на рис. 11.1, имеют конечные размеры в направлении оси г, и смещениям их в этом направле-



11.2. Осесимметричные тела 11.2.1. Основные соотношения

Осесимметричный конечный элемент имеет форму кольца постоянного поперечного сечения. Элемент задается в цилиндрической системе координат, ось симметрии которой г, а радиальное расстояние определяется координатой г. Бесконечно малая площадка поперечного сечения такого элемента, включая участок внешней поверх-

I. W


Рис. 11.2. Элемеитариая площадка попе- л и речного сечения для осесимметричного спло-

шного элемента

ности ds, лежит в плоскости z - г, как показано на рис. 11.2. Окружная координата, не участвующая в данном рассмотрении, задается углом 6. Узлы элемента, по сути, представляют собой узловые окружности. Поэтому расчет осесимметричных тел при осесимметричных нагрузках сводится к расчету двумерной задачи, так как поле перемещений может описываться только двумя компонентами в плоскости поперечного сечения, а именно радиальным перемещением и и осевым смещением w.

Соответствующими компонентами деформации в цилиндрических координатах являются радиальная е, окружная eg, осевая и сдвиговая у деформации; соответствующими компонентами напряжений - компоненты а Од, и т . Окружные напряжения и деформации существуют благодаря тому, что равномерное радиальное смещение увеличивает длину окружности. Приведем линейные

нии ничто не препятствует, поэтому предположение, что 6=0, не выполняется. В этих случаях обычно полагают ej=const (случай обобщенного плоского деформированного состояния). Чтобы построить конечно-элементное представление для этого случая, можно использовать соотношения трехмерной теории упругости (10 3), связывающие напряжения с деформациями, полагая Yxz=Yv2=0 и ej=const. Деформации

xt и Уху выражаются через предполагаемые поля перемещений и и t; обычным образом. Результирующие глобальные уравнения жесткости формулируются затем в терминах узловых значений величин и и t; и одной константы е.



соотношения между деформациями и перемещениями [11.1]

(5и dw ди , dw

(11.4)

и уравнения состояния

а=[Е]е-[Е] е ,

8 = Le.eoe, у J \

(4.15)

(П.5) (11 6) (11 7)

В частности, для изотропного материала при изменении температуры Г по сравнению с температурой свободного от напряжений тела имеем е =е =е = Г, y\Ч=Q. Матрица упругих констант совпадает с матрицей для плоско-деформированного состояния лишь с тем отличием, что здесь для учета третьей компоненты напряжений необходимо добавить строку и столбец. Для изотропного материала имеем

(l-i)

[X (1 - [i) (Симметрично)

(1+ц)(1 2ц) \ i (1-i) ( )

где строки и столбцы записаны так, чтобы соответствовать векторам напряжений и деформаций (11.5) и (11.6).

Благодаря осевой симметрии в выражении для потенциальной энергии интеграл по объему можно преобразовать в интеграл по площади. Бесконечно малый элемент объема, отвечающий бесконечно малой площади, изображенной на рис. 11.2, равен d (voI) = = 2nrdA, а площадь поверхности, соответствующая длине ds, равна dS=2nrds. Поэтому выражение для потенциальной энергии примет вид

11р = л Je [Е] sr dA-2ne[E]srdA -

-2iil(u-f, + w-f,)rds, (11.9)

где 8, е и [Е] определяются согласно (11.6)-(11.8), аТ и - заданные усилия на единицу площади поверхности.




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104  105  106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139



Установим охранное оборудование.
Тел. . Звоните!