11.1. Плоско-деформированное состояние

(4.14) ej, равной нулю, получим для изотропного материала

(11.1а) (11.1b) (11.1с)

Разрешая первое уравнение относительно а подставляя полученное выражение в последние два уравнения и добавляя соотношение между Уху и Tjy, получим

и после обращения матрицы ( о.

(1-f*) О

(1-1-ц)(1-2ц)

П-ц ц О 1 JX 1-JX О

О О

1-2ц 2

(11.3)

Линейные соотношения, связывающие перемещения и деформации, относятся лишь к заданию геометрических характеристик деформации и применимы как в случае плоского напряженного, так и плоского деформированного состояния. Следовательно, соответствующие соотношения содержатся в (4.7), и принципиальное различие между конечно-элементными формулировками для плосконапряженного и плоско-деформированного состояний заключается в различии законов, связывающих деформации и напряжения, т. е. законов (11.3) и (9.3). Поэтому здесь справедливы построения из гл. 9, включая использование концепции элементов высоких порядков, рассмотрение альтернативных вариантов с использованием в элементах дополнительных узлов и степеней свободы в виде производных от перемещений, а также применение изопараметрического представления геометрии элемента.

Другое отличие от случая плоского напряженного состоя1тя заключается в неравенстве нулю компоненты напряжения о. После нахождения узловых перемещений значение можно вычислить с использованием соотношений (11.3), (4.7), (11.1а).

Часто конструкции, изображенные на рис. 11.1, имеют конечные размеры в направлении оси г, и смещениям их в этом направле-

11.2. Осесимметричные тела 11.2.1. Основные соотношения

Осесимметричный конечный элемент имеет форму кольца постоянного поперечного сечения. Элемент задается в цилиндрической системе координат, ось симметрии которой г, а радиальное расстояние определяется координатой г. Бесконечно малая площадка поперечного сечения такого элемента, включая участок внешней поверх-

I. W

Рис. 11.2. Элемеитариая площадка попе- л и речного сечения для осесимметричного спло-

шного элемента

ности ds, лежит в плоскости z - г, как показано на рис. 11.2. Окружная координата, не участвующая в данном рассмотрении, задается углом 6. Узлы элемента, по сути, представляют собой узловые окружности. Поэтому расчет осесимметричных тел при осесимметричных нагрузках сводится к расчету двумерной задачи, так как поле перемещений может описываться только двумя компонентами в плоскости поперечного сечения, а именно радиальным перемещением и и осевым смещением w.

Соответствующими компонентами деформации в цилиндрических координатах являются радиальная е, окружная eg, осевая и сдвиговая у деформации; соответствующими компонентами напряжений - компоненты а Од, и т . Окружные напряжения и деформации существуют благодаря тому, что равномерное радиальное смещение увеличивает длину окружности. Приведем линейные

нии ничто не препятствует, поэтому предположение, что 6=0, не выполняется. В этих случаях обычно полагают ej=const (случай обобщенного плоского деформированного состояния). Чтобы построить конечно-элементное представление для этого случая, можно использовать соотношения трехмерной теории упругости (10 3), связывающие напряжения с деформациями, полагая Yxz=Yv2=0 и ej=const. Деформации

xt и Уху выражаются через предполагаемые поля перемещений и и t; обычным образом. Результирующие глобальные уравнения жесткости формулируются затем в терминах узловых значений величин и и t; и одной константы е.

соотношения между деформациями и перемещениями [11.1]

(5и dw ди , dw

(11.4)

и уравнения состояния

а=[Е]е-[Е] е ,

8 = Le.eoe, у J \

(4.15)

(П.5) (11 6) (11 7)

В частности, для изотропного материала при изменении температуры Г по сравнению с температурой свободного от напряжений тела имеем е =е =е = Г, y\Ч=Q. Матрица упругих констант совпадает с матрицей для плоско-деформированного состояния лишь с тем отличием, что здесь для учета третьей компоненты напряжений необходимо добавить строку и столбец. Для изотропного материала имеем

(l-i)

[X (1 - [i) (Симметрично)

(1+ц)(1 2ц) \ i (1-i) ( )

где строки и столбцы записаны так, чтобы соответствовать векторам напряжений и деформаций (11.5) и (11.6).

Благодаря осевой симметрии в выражении для потенциальной энергии интеграл по объему можно преобразовать в интеграл по площади. Бесконечно малый элемент объема, отвечающий бесконечно малой площади, изображенной на рис. 11.2, равен d (voI) = = 2nrdA, а площадь поверхности, соответствующая длине ds, равна dS=2nrds. Поэтому выражение для потенциальной энергии примет вид

11р = л Je [Е] sr dA-2ne[E]srdA -

-2iil(u-f, + w-f,)rds, (11.9)

где 8, е и [Е] определяются согласно (11.6)-(11.8), аТ и - заданные усилия на единицу площади поверхности.