техники множителей Лагранжа (см. гл. 7). Следовательно, полная система глобальных уравнений имеет вид

I Р I ГК СП

где LAJ = LLuJLvJLwJJ; {X) - вектор множителей Лагранжа по одному на каждый элемент; [К ! - глобальная матрица жесткости, построенная из элементов, матрицы жесткости которых выводят на основе уравнения состояния (11.30); IGJ - матрица коэффициентов системы ограничений, образованная из строк матрицы LGiJ, задаваемой с помощью (11.34); {Р} - вектор прикладываемых сил.

Как и следовало ожидать, на основе проведенных в гл. 6 и 7 обсуждений вопросов, связанных с множителями Лагранжа, величины Xs пропорциональны давлению в порах внутри соответствующих элементов. Указанные значения давлений достаточны для предотвращения изменения объема элемента.

В процессе затвердевания грунта изменение объема отлично от нуля и зависит от времени. Если принимается пошаговый метод решения, то на каждом шаге по времени определяются отличные от нуля величины изменения объема. Поэтому правые части уравнений (11.34), (11.35) не равны нулю. Эти и другие аспекты анализа затвердевания грунта приведены в [11.11-11.141.

В однофазном материале при коэффициенте Пуассона [i, равном 0.5, соответствующие несжимаемому материалу члены, входящие в уравнения состояния, стремятся к бесконечности из-за множителя (1-2(д,) в знаменателе (см. (10.3), (11.3) и (11.8)). Если (д, лишь немного отличаются от 0.5, то решение для перемещений может оказаться неточным, что в свою очередь существенно скажется при подсчете напряжений, так как последние находятся в результате дифференцирования перемещений.

Чтобы модифицировать подход, основанный на рассмотрении потенциальной энергии, заметим, что для несжимаемого материала лишь девиаторные компоненты деформации существенны в соотношениях между напряжениями и деформациями. Поэтому девиаторные компоненты деформации отделяются от дилатационных компонент и используются как базисные для конечно-элементной формулировки.

Кроме того, удобным прямым подходом к анализу однофазного несжимаемого материала является подход с использованием специальной формы принципа Рейсснера, предложенной Херрманом [11.15]. Функционал Рейсснера обсуждался в разд. 6.8. Рассматривая для простоты изотропный несжи.маемый материал, находящийся в плоском деформированном состоянии, замети.м, что физическая сущность рассматриваемой задачи позволяет объединить напряже-

-li(\-2ii)pdA~TudS. (1138)

При дискретизации этого функционала с целью проведения конечно-элементного анализа желательно задать р через функцию формы с узловыми степенями свободы {р}, которые связаны с соответствующими значениями смежных элементов Если, с другой стороны, р остается свободным внутри элемента при ц=0 5, то могут возникнуть те же трудности, что и для традиционной формулировки с потенциальной энергией. В частности, для линейного поля перемещений и постоянного значения р в элементе можно показать [11 161, что формулировки на базе потенциальной энергии и функционала Рейсснера совпадают. Из числовых результатов [11 16] следует, что наиболее эффективно решения находятся в том случае, когда порядок интерполяции перемещений и величины р совпадают. Вопросы конечно-элементной дискретизации этих функционалов и построения аналогичных смешанных функционалов для анизотропных сред излагаются в [11.15-11 19]. Во многих несжимаемых материалах, например в резине, при нагружений возникают большие деформации. Это обстоятельство требует построения специального вида определяющих соотношений с учетом больших деформаций и соответствующих модификаций конечно-элементных формулировок Эти вопросы рассматриваются в [11 20]

Литература

111 Den Hartog J Р Advanced Strength of Materials -New York, N Y McGraw Hill Book Co , 1952

И 2 Dunham R S , Nickell R E Finite Element Analysis of Axisymmetric Solids with Arbitrary Loadings -Report 67 6, Dept of Civil Eng , Structural Engineering Laboratory, Univ of California, Berkeley, Calif., June 1967.

НИЯ, входящие в функционал, в единый параметр р, характеризующий давление, т. е.

р = (1/£)(а,+а,+а,). (11.36)

Кроме того, можно записать закон, связывающий напряжения и деформации, в виде дилатационного соотношения

<. + < +<. = (Г:( - + + )- (37)

В случае плоской деформации можно показать, что перемещения U и и, а также величина параметра давления р определяются из условия стационарности следующего функционала:

II 3 Utku S Explicit Expressions for Triangular Terus Element Stiffness Matrix -AIAA J , June 1968, 6, No 6, p 1174-1175 [Имеется перевод Ракетная техн н космон - М Мир, 1968, № 6 ]

11 4 Belytschko Т finite Element for Axisymmetric Solids under Arbitrary Loadings with Nodes at Origin -AIAA J , 1972, 10, No 11, p 1582-1584 [Имеется перевод Ракетная техн и космон - М Мир, 1972, № 11 ]

11 5 Chacour S А High Precision Axisymmetric Triangular Element Used in the Analysis of Hvdraulic Turbine Components -Trans ASME, J Basic Eng , 1970, 92, p 819-826

11 6 Silvester P Konrad A Axisymmetric Triangular Elements for the Scalar Helmholtz Equation -Int J Num Meth Eng , 1973, 5, No 4, p 481-498

11 7. Sokolnikoff I S , Redheffer R M Mathematics of Physics and Modern Engineering - New York, N Y McGraw-Hill Book Co , 1966, p 56-83

118 Wilson E Structural Analysis of Axisymmetric Solids-AIAA J, Dec 1965, 3, No 12, p 2267-2274 [Имеется перевод Ракетная техн н космон - М Мир, 1965, № 12 1

11 9 Argyris J И , Buck К Е , Grieger I , Mareczek G Application of the Matrix Displacement Aethod to the Analysis of Pressure Vessels -Trans ASME ,

1970, 92, Ser B, p 317-329

11 10 Zienkiewicz О С The Finite Element Method in Engineering Science Chapter 13 -London McGraw-Hill Book Co , Ltd , 1971 [Имеется перевод Зенкевич О Метод конечных элементов в технике - М Мир, 1975, 541 с ]

1111 Christian J Т Undrained Stress Distribution by Numerical Methods-Proc ASCE, J Soil Mech Fdn Div , Nov 1968, 94 No SM6, p 1333-1345

11 12 Christian J T , Boehmer J W Plane Strain Consolidation by Finite Elements -Proc ASCE, J Soil Mech Fdn Div , July 1970, 96, No SM4, p 1435-1457

11 13 Hwang С , Morgenstern N , Murray D On Solution of Plane Strain Consolidation Problems by Finite Element Methods -Canadian Geotechn J ,

1971, 8, p 109-118

II 14 Sandhu R S Finite Element Analysis of Consolidation and Creep-Proc. of Conf on Application of the Finite Element Method in Geotechnical Eng , ed С Desai, U S Army Eng Vicksburg Experiment Sta , Vicksburg, Miss ,

1972, p 697-698

11 15 Herrmann L R Elasticity Equations for Incompressible and Nearly Incompressible Materials by a Variational Theorem -AIAA J , Oct 1965, 3, No 10, p 1896-1900 [Имеется перевод Ракетная техн и космон - М. Мир, 1965, № 10 ]

11 16 Hughes Т , Allik Н Finite Elements ior Compressible and Incompressible Continua -Proc of Symp on Application of Finite Element Methods in Civil Eng , eds W Rowan and R Hackett, Vanderbilt Univ , Nashville, Tenn , Nov 1969, p 27-62

11 17 Hwang С , Ho M , Wilson N Finite Element Analysis of Soil Devormations- Proc of Symp on Application of Finite Element Methods in Civil Eng , eds W Rowan and R Hackett, Vanderbilt Univ , Nashville, Tenn , Nov 1969, p 729-746

1118 Key S W A Variational Principle for Incompressible and Nearly Incompres sible Anisotropic Elasticity-Int J Solids and Structures, 1969,5 p 951 - 964

11 19 Taylor R L Pister К , Herrmann L R On a Variational Theorem for Incompressible and Nearly Incompressible Orthotropic Elasticity -Int J Solids and Structures, 1968, 4, p 875-883

11.20 Oden J T , Key J E Numerical Analysis of Finite Axisymmetric Deformations of Incompressible Elastic Solids of Revolution -Int J Solids and Structures, 1970, 6, p 497-518.