Тел. ОАО «Охрана Прогресс»
Установка Видеонаблюдения, Охранной и Пожарной сигнализации.
Звоните! Приедем быстро! Установим качественно! + гарантия 5 лет.
 
Установка технических средств охраны.
Тел. . Звоните!

Главная  Проектирование конструкций 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112  113  114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

Здесь поперечные w и угловые в и 6, смещения задаются на участке Sa границы, а граничные условия задаются на оставшейся части границы So.

При анализе изгиба пластин особенно полезна функция дополнительной энергии, выраженная в терминах функций напряжений. В рассматриваемом случае соответствующими функциями напряжений являются функции напряжений Саусвелла Ф и Ф (см. [12.5]), определяемые следующим образом:

dQ дх

2 V дл: ду )

ду ) (12.16)

где Й - параметр, связанный с распределенной нагрузкой следующим образом:

(12.17)

/ д , д f=[dP + di)-

Если подставить выписанные выше выражения для Ш, Шу, Шху, Qx, Qy в уравнения (12.5), то можно убедиться, что уравнения равновесия удовлетворяются, что и должно быть для функций напряжений.

Наиболее часто задаваемые перемещения полагаются равными нулю, т. е. V*=0. Поэтому при обсуждении дискретизации Пе сосредоточи.м наше внимание на выражении для U*. Подставляя в (12.14) выражение (12.16), получим

110J[E,]

[ ду дх 2 \ дх ду )

(12.18) (12.19)

Третий интеграл в правой части (12.18) исчезает при дифференцировании и*, а второй интеграл даст вектор констант. Следовательно, чтобы рассмотреть основные свойства конечного элемента, изучим лишь первый интеграл. Ясно, что, за исключением вида констант и того факта, что матрица [Е/] заменяет [Е/], этот член имеет тот же вид, что и энергия деформации для плоско-напряженного состояния. Итак, выберем тот же вид аппроксимации, что и



где [f ] =

5[0Г[Е,]-[0]Л

(12.23)

Сравнивая полученное выражение с (9.7), видим, что матрица податливости [f] при изгибе, соответствующая функциям напряжений, совпадает с общим видом матрицы жесткости для плоско-напряженного состояния. (Толщина t включена в [Е/1~*.)

12.1.4. Функционал Рейсснера

Функционал Рейсснера для общей трехмерной теории упругости был представлен в разд. 6.8. Как и в случае функционалов потенциальной и дополнительной энергий, можно получить вид функционала Рейсснера для изгиба, опираясь на полученные ранее результаты, если использовать аналогию между напряжениями и изгибающими моментами, а также между деформациями и кривизнами. Функционал для изгиба пластин, аналогичный (6.81), имеет вид

П=\Шу.с1А - и*-]-У -\-V\ (12.24)

где и* м V определены согласно (12.14) и (12.18). Так как ожидается, что выбранное поле перемещений w не будет соответствовать заданным перемещениям w, необходимо представить выражения от перемещений в V* (см. 12.15)) через (ш-ш), (dw/dn-dw/dn) и (dw/ds-dw/ds).

Формула (12.24) не накладывает каких-либо требований к непрерывности Ш. Однако в силу наличия вторых производных относительно x необходимо, чтобы поперечные перемещения и их

ДЛЯ случая плоского напряженного состояния; имеем

0.= N JIO }, 0 =LNJ{OM. (12.20)

где {Ф } и {Ф } включают вычисленные в узлах-соединениях значения Ф и (и возможно, их производные по х и у). После дифференцирования, согласно (12.18), получим

Ф=[0]{ф1}=[0]{Ф}- (12.21)

За исключением отдельных констант, матрица ID] совпадает с матрицей преобразования от деформаций к перемещениям для плоского напряженного состояния (см. (5.6b)). Тогда путем подстановки в первый интеграл нз (12.18) имеем

-ij Ф [Е,]- ФdA = [f] Ф}, (12.22)



производные удовлетворяли условиям межэлементной непрерывности. Это обстоятельство не дает каких-либо преимуществ данному функционалу по сравнению с функционалом потенциальной энергии. Чтобы добиться преимуществ, проинтегрируем выписанное выражение по частям и получим следующий функционал IT введенный Херрманом [12.6, 12.7]:

U = -wdA-U*-msdS + V + V*, (12.24а)

А Sn

где S - полная граница элемента и

Ш w =

Шху dw

дГ-

ду дх ду

Теперь, если обозначить дискретизованную величину w аналогично предыдущим главам, т. е.

w=LNwJ{}, (12.25)

то внутри элемента наклон w - \ dw/dx dw/дуJ запишется в виде w=[N;,J{A}, а на границе S -в виде 5m)/s=lY]{A}. Кроме того, для Ш запишем

9K = [N]{M} (12.26)

и внутри элемента 9!>I=[Nm]{M}, а на его границе 9Ks=lLl{IVl}. Подставляя в (12.24), получим

Пн = L м J {А} ~Ш [Йхх] {М} ~ L А J {М} + L м J {А},

(12.24Ь)

[Йп] =

5[N; P[N.]d-J[Lf [Y]d5

а {1W} и {А} определяются согласно заданным нагрузкам и перемещениям соответственно на поверхности элемента и на его границе. Варьируя Пн последовательно noLMjH AJ, получим

(12.27)

Условия внутриэлементной непрерывности для w иШ из Пн заключаются в том, что W н Шп должны быть непрерывны, где 9Ji - изгибающий момент, нормальный к границе элемента.




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112  113  114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139



Установим охранное оборудование.
Тел. . Звоните!