Здесь поперечные w и угловые в и 6, смещения задаются на участке Sa границы, а граничные условия задаются на оставшейся части границы So.

При анализе изгиба пластин особенно полезна функция дополнительной энергии, выраженная в терминах функций напряжений. В рассматриваемом случае соответствующими функциями напряжений являются функции напряжений Саусвелла Ф и Ф (см. [12.5]), определяемые следующим образом:

dQ дх

2 V дл: ду )

ду ) (12.16)

где Й - параметр, связанный с распределенной нагрузкой следующим образом:

(12.17)

/ д , д f=[dP + di)-

Если подставить выписанные выше выражения для Ш, Шу, Шху, Qx, Qy в уравнения (12.5), то можно убедиться, что уравнения равновесия удовлетворяются, что и должно быть для функций напряжений.

Наиболее часто задаваемые перемещения полагаются равными нулю, т. е. V*=0. Поэтому при обсуждении дискретизации Пе сосредоточи.м наше внимание на выражении для U*. Подставляя в (12.14) выражение (12.16), получим

[ ду дх 2 \ дх ду )

(12.18) (12.19)

Третий интеграл в правой части (12.18) исчезает при дифференцировании и*, а второй интеграл даст вектор констант. Следовательно, чтобы рассмотреть основные свойства конечного элемента, изучим лишь первый интеграл. Ясно, что, за исключением вида констант и того факта, что матрица [Е/] заменяет [Е/], этот член имеет тот же вид, что и энергия деформации для плоско-напряженного состояния. Итак, выберем тот же вид аппроксимации, что и

где [f ] =

5[0Г[Е,]-[0]Л

(12.23)

Сравнивая полученное выражение с (9.7), видим, что матрица податливости [f] при изгибе, соответствующая функциям напряжений, совпадает с общим видом матрицы жесткости для плоско-напряженного состояния. (Толщина t включена в [Е/1~*.)

12.1.4. Функционал Рейсснера

Функционал Рейсснера для общей трехмерной теории упругости был представлен в разд. 6.8. Как и в случае функционалов потенциальной и дополнительной энергий, можно получить вид функционала Рейсснера для изгиба, опираясь на полученные ранее результаты, если использовать аналогию между напряжениями и изгибающими моментами, а также между деформациями и кривизнами. Функционал для изгиба пластин, аналогичный (6.81), имеет вид

П=\Шу.с1А - и*-]-У -\-V\ (12.24)

где и* м V определены согласно (12.14) и (12.18). Так как ожидается, что выбранное поле перемещений w не будет соответствовать заданным перемещениям w, необходимо представить выражения от перемещений в V* (см. 12.15)) через (ш-ш), (dw/dn-dw/dn) и (dw/ds-dw/ds).

Формула (12.24) не накладывает каких-либо требований к непрерывности Ш. Однако в силу наличия вторых производных относительно x необходимо, чтобы поперечные перемещения и их

ДЛЯ случая плоского напряженного состояния; имеем

0.= N JIO }, 0 =LNJ{OM. (12.20)

где {Ф } и {Ф } включают вычисленные в узлах-соединениях значения Ф и (и возможно, их производные по х и у). После дифференцирования, согласно (12.18), получим

Ф=[0]{ф1}=[0]{Ф}- (12.21)

За исключением отдельных констант, матрица ID] совпадает с матрицей преобразования от деформаций к перемещениям для плоского напряженного состояния (см. (5.6b)). Тогда путем подстановки в первый интеграл нз (12.18) имеем

-ij Ф [Е,]- ФdA = [f] Ф}, (12.22)

производные удовлетворяли условиям межэлементной непрерывности. Это обстоятельство не дает каких-либо преимуществ данному функционалу по сравнению с функционалом потенциальной энергии. Чтобы добиться преимуществ, проинтегрируем выписанное выражение по частям и получим следующий функционал IT введенный Херрманом [12.6, 12.7]:

U = -wdA-U*-msdS + V + V*, (12.24а)

А Sn

где S - полная граница элемента и

Ш w =

Шху dw

дГ-

ду дх ду

Теперь, если обозначить дискретизованную величину w аналогично предыдущим главам, т. е.

w=LNwJ{}, (12.25)

то внутри элемента наклон w - \ dw/dx dw/дуJ запишется в виде w=[N;,J{A}, а на границе S -в виде 5m)/s=lY]{A}. Кроме того, для Ш запишем

9K = [N]{M} (12.26)

и внутри элемента 9!>I=[Nm]{M}, а на его границе 9Ks=lLl{IVl}. Подставляя в (12.24), получим

Пн = L м J {А} ~Ш [Йхх] {М} ~ L А J {М} + L м J {А},

(12.24Ь)

[Йп] =

5[N; P[N.]d-J[Lf [Y]d5

а {1W} и {А} определяются согласно заданным нагрузкам и перемещениям соответственно на поверхности элемента и на его границе. Варьируя Пн последовательно noLMjH AJ, получим

(12.27)

Условия внутриэлементной непрерывности для w иШ из Пн заключаются в том, что W н Шп должны быть непрерывны, где 9Ji - изгибающий момент, нормальный к границе элемента.