12.2. Прямоугольные элементы

12.2.1. Предполагаемые модели перемещений - единственное поле

Существуют два общих подхода к формулировке матриц жесткости для изгибающих пластин, основанные на предполагаемых полях перемещений. Водном, называемом подходом с единственным полем, функциональное представление перемещений занимает всю поверхность элемента. В другом подходе - элемент разбивается на подобласти и в каждой из них делается независимое предположение относительно соответствующих полей перемещений. Указанные подходы при определенных условиях приводят к одной и той же матрице жесткости. В данной главе исследуются альтернативные варианты представления прямоугольных элементов единственным полем. Аналогичные вопросы рассмотрим в п. 12.3.1 и 12.3.2 для треугольных элементов.

При первом рассмотрении прямоугольного изгибаемого пластинчатого элемента (см. рис. 12.3) может показаться, что для задания функции прогибов W подойдет простое обобщение функции прогибов для балки (5.14а). Вспомним, что эта функция обеспечивает непрерывность как w, так и угловых смещений 6 при переходе через узлы, соединяющие элементы. Условия межэлементной непрерывности перемещений для прямоугольного элемента выполняются, если зададим поле поперечных смещений на основе балочных функций в следующем виде:

=LLN JLNe,J LNeJ J

==LNJ{A}. (12.28)

где {Д} задается согласно (12.10) и

L N J = L [Ai () Л/, (у)] [N, (X). N, (у)] X

x[Njx).N,iy)][Ni {x)-NAy)]J. lN, \ = l[N,ix).N,iy)][N,(x).N,(y)]x

x[N,{x).N,(y)][NAx}-NAy)]J. L Ne, J = L (<) 8 (y)][N, (X) N, (y)]X

x[,()-4 iy)Wr ix)-N, (y)]J.

Здесь

Л/,.(а:) = (Ц-2 -2? N,(x) = {31--21), Л/, (x) = -x{l-\Y, N, (x) = -x(?-),

A/,(i/) = (l-f2.f-3Ti), Л/, (i/) = (3ii-2ri ), V3(</) = -,(n-l)S

4 {у} = у(ц-ц).

(12.30)

где l=x/Xi и г\=у/уз. Назовем это поле балочной функцией поперечных смещений.

Проверяя эту функцию при переходе через границы элемента, приходим к выводу, что поля прогибов W и угловых смещений 8, i)y непрерывны, если соединены элементы, построенные на одинаковых функциях. Поэтому условия межэлементной совместности удовлетворяются. Если величины из (12.29), на которые умножаются узловые перемещения, расписать подробно и изучить, то окажется, что член, отвечающий постоянной сдвиговой деформации, а именно простая функция кручения ху, отсутствует. Как указывалось в разд. 8.1, чтобы быть уверенным в сходимости к правильному результату, необходимо учесть все состояния с постоянной деформацией, а для изгиба пластин простая закрутка соответствует постоянной деформации кручения. Следовательно, необходимо отклонить предлагаемую функцию.

Выбор межэлементной согласованной функции перемещений, включающей также все однородные деформированные состояния, можно осуществить, используя обсуждаемую в гл. 8 концепцию интерполяции. Здесь, для того чтобы удовлетворить условиям, накладываемым вдоль границы как на функцию, так и на ее производные, используем интерполяционную формулу Эрмита (разд. 8.4). Основываясь на этом подходе, можно записать полный полином третьего порядка [12.81:

W = [Соотношение (12.28) + (х) (у) + Л (х) (у) +

+ N, (X) N, (у) Гз + Лз (л;) N, (у) Г,], (12.31)

где степени свободы Г; - значения смешанных производных в узлах: Г1= \dw/dxdy\i, и т. д. Поэтому заметим, что балочная функция (12.28) является всего лишь неполным эрмитовым полиномиальным разложением и в случае прямоугольного элемента для представления единственной функции требуется 16 членов разложения. Те же требования уже выдвигались в разд. 8.4, в котором показано, что полное произведение кубических функций включает 16 членов. Матрица жесткости элемента, полученная на основе (12.31), приведена в [12.8].

Альтернативой к указанным функциям может служить двенад-цатичленный полином, содержащий столько слагаемых, сколько очевидных степеней свободы имеется в узлах. Этот полином задается в виде треугольника Паскаля согласно рис. 12.4. Он может быть записан через функции формы. Представление с помощью функций формы имеет тот же вид, что и для случая балочных функций поперечных смещений (12.28). Матрица-строка LNie,J задается выражением (12.29а). Для оставшихся членов функции формы имеем

LNe.J = L(l-)A3(i/) INM -1Лу) -{-l)NMA

(12.32)

Заметим, рассматривая рис. 12.4, что двенадцатичленная функция не является полным полиномом в смысле, определенном в разд. 8.1. Функция полна вплоть до третьего порядка (10 членов), и необходимо выбрать еще 2 члена из пяти, отвечающих четвертому порядку. Слагаемое ху можно не рассматривать, так как для него нет логической пары из оставшихся. Члены х и y приведут к квадратичным вариациям перемещений вдоль границ элемента и к

02 л:

аз у

04 Х

о х-

agxb

аху-

0,зХ

Я10>

021>

Рис. 12.4. Двенадцатичленный полином, согласующийся с треугольником Паскаля.

более серьезным разрывам непрерывности перемещений вдоль межэлементных границ, нежели члены ху и ху. Поэтому выберем последние. Интересно отметить, что указанный выбор позволяет удовлетворить определяющему дифференциальному уравнению (12.6а) на свободных от нагрузок областях пластины; следует, однако, еще раз отметить, что для стационарности аппроксимации потенциальной энергии удовлетворение этому условию не требуется.

Интересны и другие свойства этой функции. Она включает члены, задающие движение тела как твердого целого и однородную деформацию, причем исследование показывает, что прогибы оказываются межэлементно согласованными. Однако угловые перемещения не удовлетворяют этим условиям.

Чтобы подтвердить эти высказывания, необходимо лишь оценить полиномиальное представление (рис. 12.4) вдоль типичной границы элемента. Выбирая с этой целью сторону 1-2 (вдоль оси х), имеем

ш = flj-f OjA--f ах-f а,х, = а + 2а,х + 3а,х\

дх dw ~дУ

= Оз-f ах-f fleX -f о,