НО выбросить член ху или ху. Построенные таким образом элементы некоторое время использовались и встречались в различных широко распространенных программах; однако точность полученных решений была неудовлетворительна. Ниже перечислены более удовлетворительные возможные формулировки на основе единственного поля:

1. Можно определить элемент лишь с 6 степенями свободы (см. рис. 12.8(b)) и полной квадратичной функцией, задающей w. При этой формулировке будут нарушаться требования межэлементной непрерывности перемещений.

2. Можно выбрать полный кубический полином с 10 степенями свободы, причем 10-я степень свободы задана во внутренней точке (см. рис. 12.8(a)). При этой формулировке также нарушаются условия межэлементной непрерывности перемещений.

3. Число степеней свободы можно увеличить до тех пор, пока не будет достигнуто соответствие с полным полиномом, который удовлетворяет условиям межэлементной непрерывности. Можно показать, что для этого требуется введение полного полинома 5-й степени (см. рис. 12.8(c)).

4. Межэлементно непрерывное поле перемещений, отвечающее изображенному на рис. 12.8(a) с 9 степенями свободы, можно построить в терминах треугольных координат посредством суперпозиции соответствующей системы функций формы [12.25]. Существенно улучшенный вариант формулировки этого типа приводится в [12.26].

Далее подробнее рассмотрим формулировки из п. 1, 2 и 3. За подробностями, касающимися формулировок из п. 4, заинтересованные читатели могут обратиться к работам 112.25, 12.26]; некоторые аспекты этого подхода будут затронуты при обсуждении в этом разделе числовых результатов.

Конечно-элементное представление поля перемещений с шестью степенями свободы изображено на рис. 12.8(b). Поле прогибов описывается в виде

w=ai-\-aaX-\-a3y+aiX-\-axy-\-af,y. (12.33)

Кроме того, узловые перемещения определяются как значения прогибов в вершинах элемента (точки 1, 2 и 3) и нормальные угловые смещения в серединах сторон (точки 4, 5 и 6). Поэтому

LA J = Li2uy3 04 05 0 J-

Выражая каждую степень свободы в [ Л J в терминах разложения (12.33), получим систему уравнений {А}=[В]{а} типа (12.13), где {а}=1 а1. . .a J. Основная матрица жесткости строится на основе представления (12.33) (см. (6.18)) и далее преобразуется к матрице, отвечающей физическим степеням свободы, путем использования матрицы 1В]~1 как матрицы преобразования.

(12.35)

Хотя при ЭТОЙ формулировке нарушаются условия межэлементной непрерывности перемещений, все условия равновесия выполнены. Поле моментов удовлетворяет условиям равновесия внутри элемента и на границе смежных элементов [12.271.

Для построения матрицы жесткости элемента на базе полного кубического полинома можно применить обобщенный подход с использованием потенциальной энергии [12.281. Элемент показан на рис. 12.8(a). В этом случае в каждой из трех вершин задаются значения W и угловые смещения 9. и 9, а в качестве 10-й степени свободы выбирается прогиб в центре. Имеем для вектора степеней свободы

L А J = L 1 9., в W, 9 0 шз 9 0 J . (12.34)

Прогиб W представляется в виде ш= [ N J {А}, где составляющие [ N J в терминах треугольных координат записываются следующим образом:

N, = Ц (L, + 3L, + 3L,) -7L,L,L N,=Ll{L,+3L, + 3L,)-7L,L,L

Ns=Ll (Ухи - г/23з) + (23 -У12) 12--3.

Лд = L\ (XjaZ-g XjjZ-i) -\- (Xj3 Xjg) L-LLg, yV, == LI (L3 + 3L, + 3L,) - 7L,L,L N, = LI {yzL-yiL) + (.г/з, - i/23) -12-3.

N g = LI (XgjLj - X23L2) (Xjg X.-i) L-iLL,

yVj, = 27LiL,L3, Xi = Xi - Xj, у. = у.-у.

Матрица жесткости элемента строится непосредственно путем дифференцирования (12.35) в соответствии с и=[01{А}. Затем из (12.11) получаем коэффициенты жесткости элемента.

Для выписанного поля нарушаются условия межэлементной согласованности. При переходе через границу элемента компонента W непрерывна, а нормальные угловые смещения 0п разрывны. Это смещение меняется по квадратичному закону вдоль каждой стороны, что приводит к необходимости использования трех параметров для однозначного задания смещения, однако в наличии имеются только два параметра (9 на концах отрезка). Оставшиеся четыре параметра в этих точках введены для однозначного определения w.

Чтобы разрешить эту ситуацию, можно выписать уравнение, задающее непрерывность нормальной производной в серединах сторон. Предположим, что два соседних элемента обозначены через Л и fi, а нормальные производные в серединах их сторон - соответственно через 0, и 0. Условие непрерывности угловых смеще-

НИИ Требует, чтобы

Qi-Qn=0. (12.36)

Можно использовать это условие для задания уравнения связи. Дифференцируя сначала по п поля перемещений соседних элементов (12.35), приходим к формулам Qdwldn, Qn=dw /dn, которые затем подставим в (12.36). Полученные таким образом уравнения связи можно использовать при глобальном анализе путем непосредственной подстановки либо с помощью метода множителей Лагранжа, как описано соответственно в разд. 3.5 и 7.4.

Другой способ построения межэлементных условий связи заключается в этом случае в приравнивании нулю интеграла от выражения, задающего разность между угловыми смещениями соседних элементов (см. разд. 7.4 и [12.29]). Еще одним обобщенным вариационным подходом является подход [12.17], в котором строится корректирующая матрица жесткости элемента, которая добавляется к основной (межэлементно несогласованной) матрице жесткости элемента. Последняя выводится путем рассмотрения интеграла по границе элемента, куда подставлена простая межэлементно согласованная функция.

Следующее более тонкое представление дается полным пятнад-цатичленным полиномом 4-й степени. В работе [12.30] на основе этой функции сформулирован треугольный элемент. Набор степеней свободы включает обычные 3 степени свободы в каждом из узлов, а также прогиб и производные по нормали в серединах каждой стороны. Межэлементная согласованность нарушается из-за недостаточного числа параметров, имеющихся для однозначного задания производных по нормали на каждой из сторон. В работе [12.31] также исследован вопрос построения элемента на базе полинома 4-й степени, но с восемнадцатью членами.

Переходя к рассмотрению полного полинома 5-й степени, заметим, что, согласно треугольнику Паскаля, он включает 21 член. Полностью удовлетворить условиям межэлементной непрерывности можно, определив степени свободы, как показано на рис. 12.8(c). В этом элементе задаются по шесть степеней свободы в каждом узле - линейное и угловые смещения и три кривизны, а также угловые смещения в середине каждой из сторон. Число степеней свободы можно довести до 18 путем исключения угловых смещений в серединах сторон [12.33-12.35], задавая кубический характер изменения производных вдоль сторон.

Строились также элементы еще более высокого порядка с единственным полем, сохраняющие межэлементную непрерывность (см., например, [12.32, 12.36, 12.37]). Построение таких элементов проводилось на основе полных полиномов 6-й степени (28 членов) и 7-й степени (36 членов) с введением в узлах элемента специальных степеней свободы (производных более высокого порядка).