Элемент изображен на рис. 12.10(a). Подобласти обозначены буквами а, Ь, с. Как указывалось ранее, предполагается, что внутри каждой подобласти прогиб описывается полным кубическим полиномом; имеем

w = a,+a,x + a,y+ ...+ai,y= Lp(3) J{a[, и)Ь = Ь1 + Ь,х + ЬзУ+ ...+bi,y=lp{3) J{b}, (12.37) С1+С2Х+СзУ+...+ Ci,y = L P (3) J {с}. Число (30) неизвестных параметров {а}, {Ь}и {с} сразу уменьшают до 24, используя шесть условий, связанных с согласованностью перемещений во внутреннем узле О, т. е. ai=bi~Ci, aa=bi=Ci, аз = Ьз=Сз. Дальнейшая редукция с 24 до 12 степеней свободы осуществляется заданием условий непрерывности и равенства внутренних и внешних степеней свободы в вершинах (1, 2, 3), в серединах сторон (4, 5, 6) и в серединах внутренних границ (/, /, k).

Чтобы детально развить эгот подход, определим следующие удобные обозначения для векторов смещений в узлах. В вершинах вектор перемещений ш 0 J будем записывать в виде L А/ J . где нижний индекс / обозначает узел (/=1, 2, 3), а верхним индексом g помечена подобласть {g=a, b, с), к которой принадлежит вершина. Например,

mf! j

Если вектор относится к перемещению в узле объединенного элемента (комбинации из трех элементов) или в точках па серединах сторон подэлементов (i, j, k, 4, 5, 6), то индексы опускаются. Соответствующие 24 уравнения совместности можно записать в виде

Девять уравнений: равенство перемещений в вершинах для подэлементов и целого элемента

Три уравнения: равенство угловых смещений в серединах сторон 4, 5, 6 для подэлементов и целого элемента

Девять уравнений: равенство перемещений смежных подэлементов в вершинах

Три уравнения: равенство угловых перемещений во внутренних узлах 1, j, k

Определяя эти перемещения в узловых точках с помощью (12.37), имеем

[В..] [В. ]] Па,}) .[В ,] [B ]J\{a где уравнения разбиты на группы так, чтобы

М = { 1 2 3 4 6 в 7 8 а 10 М.

Ы = {bib, b, bi, с, с, с, с, с, Сю},

где 9 , и 9 - угловые смещения, нормальные к стороне элемента в точках 4, 5, 6. Используя процедуру конденсации (см. разд. 2.8), получим

[B,J{aJ={A},

(12.38)

(12.39)

(12.40)

[В..] = [ГГ

[в:1[в::]]1 т=

Наконец, решая (12.40), находим

{аЛ=[В,.]-ЧД}. {a }=-[[B -o4[B J][B,J-i{A}. (12.41)

При построении матрицы жесткости для элемента сначала необходимо построить матрицу жесткости, выраженную в терминах полного набора параметров LaJ LaoJ J (см. разд. 8.1), а затем с помощью (12.41) преобразовать полученную матрицу к соответствующим физическим координатам.

По-видимому, простейшей формулировкой в методе разбиения на подобласти для треугольных элементов является СРТ-элемент, реализованный в программе STRUDL-II [12.391. Как изображено на рис. 12.10(b), этот элемент состоит из двух треугольников. Предполагается, что перемещения в областях а и b задаются кубическими разложениями. Чтобы обеспечить непрерывность нормальных производных вдоль стороны 1-2, для которой dw/dn=dw/dy, исключают члены, содержащие ху. (Если эти члены сохранить, то нормальная производная будет квадратичной функцией от л:.) Кроме того, чтобы обеспечить непрерывность w и нормальных производных dw/dn=dw/dx на границе областей а и Ь, можно приравнять в соответствующих разложениях свободные члены и коэффициенты, стоящие перед линейными выражениями, содержащими величину у в произвольной степени. Так, для разложений в соответствующих областях имеем

= Й1 + ах + ау + ах + аху + + а,х + а,ху + af.

(12.42)

= 1-1- ах -f ау -f -f аху + а,у + b,x- + а,ху+а,у\ где девять величин - базисные коэффициенты, стоящие перед

слагаемыми в разложении для области а и перед теми же величинами в области Ь. Две величины (&4, fc,) все же не связаны с разложением в области а. Чтобы установить связь между выписанными разложениями, зададим следующие два уравнения связи, обусловливающие линейный характер изменения нормальных производных вдоль сторон 1-3 и 2-3:

Уз Lb

(12.43)

Подставив эти выражения в (12.42), выразим поле через 9 параметров. Здесь также основная матрица жесткости формулируется через эти параметры, и необходимое преобразование от этих параметров к узловым смещениям легко построить. Интересно отметить, что, хотя условие на непрерывность нормальных производных задается по всему периметру элемента, поперечные смещения разрывны при переходе через сторону 1-2.

12.3.4. Сравнение численных результатов. Метод разбиения на подобласти для треугольных элементов, основанных на предполагаемых полях перемещений

На рис. 12.11 приводится сравнение численных результатов для различных формулировок в методе разбиения на подобласти. Для грубых сеток использование при разбиении на подобласти формулировок с 10 степенями свободы в каждом подэлементе приводит к существенному увеличению точности полученных результатов по

Размер сетки {см. рис. 12.6)

Рис. 12.11. Сравнение численных результатов - подобласти треугольных элементов. / - десятичленный полином в подобласти; 2 - СРТ-элемент [12.39]; 5 - девятнчленный полином в подобласти [12.38].