к узлу 1, следуют все величины, соответствующие узлу 2. Существует также возможность построить указанные векторы так, чтобы в столбце за всеми силами, действующими в направлении оси г, следовали моменты, т. е. \ Fi J , а соответственным образом

построить вектор перемещений. Выгода от выбора той или иной формы записи зависит во многом от особенностей вычислительного процесса и простоты представления векторов В книге используются обе формы записи.

Кроме того, если сравнить эту матрицу жесткости с матрицей растягиваемого стержневого элемента, то выясняется, что коэффициенты последней матрицы суть константы, а среди компонент первой матрицы имеются как константы, так и величины, зависящие от длины, например 6, 3L, 2L Отношение этих величин может быть достаточно большим, что существенно влияет на точность численного решения системы линейных алгебраических уравнений, образованной при помощи матрицы жесткости. Помимо аспектов, касающихся точности численного процесса, очевидно, что можно добиться больших удобств и значительной эффективности вычислительного процесса, если коэффициенты жесткости элемента не зависят от характерных размеров элемента, т. е. записаны в безразмерном виде.

Матрице жесткости изгибаемого элемента можно легко придать безразмерную форму, если иначе определить величины узловых усилий и перемещений. Так, угловые смещения необходимо заменить линейными смещениями QiL и BL, а моменты - силами Mi/L и Mi/L. Таким образом, величина L исключается из вторых и четвертых столбцов и строк и происходит обезразмеривание коэффициентов жесткости. Однако скалярный множитель, стоящий перед матрицей, зависит от характерных размеров и механических свойств элемента. Большая часть матриц жесткости в данной книге имеет размерные коэффициенты, однако в принципе их можно записать в безразмерном виде, переходя к новым переменным для перемещений или используя процедуру факторизации. Последняя процедура будет описана на примере треугольного элемента в разд. 5.2.

Наконец, полная система уравнений жесткости для элемента связывает все узловые силы элемента с его степенями свободы. Когда это требуется, в число степеней свободы включается и движение тела как твердого целого. Так, для балочного элемента исключенные перемещения, отвечающие любому из изображенных на рмс. 2.8(b) и (с) условию закрепления, суть совокупность перемещений, связанных с движением тела как твердого целого. Если выделить такого рода степени свободы и силы, то можно более кратко описать жесткостные свойства элемента. Однако это потребует, как показано в гл. 7, применения специальным образом определенной методики построения полной аналитической модели.

Уравнения податливости для закрепленного элемента выражают

Консольное закрепление (рис. 2.8(c))

[0, I 6£/ [з/, б

Коэффициенты матриц податливости различны. Тем не менее, как будет показано в следующем разделе, основная характеристика каждого типа закрепления - дополнительная энергия деформации - у обеих матриц одинакова.

Смешанные соотношения между силами и перемещениями определяют соотношения между векторами, имеющими в качестве компонент как силы, так и перемещения. Если силы и соответствующие степени свободы разбиты на две группы, обозначенные нижними индексами s и /, то общее представление смешанных соотношений можно записать в виде

узловые перемещения {Л} через узловые силы {F/}, т. е.

{А/}=[П{Р,}, (2.2)

где If) - матрица податливости элемента. Отдельный коэффициент податливости есть перемещение At, вызванное единичной силой Fj. Нижние индексы / у векторов перемещений и сил означают, что у векторов перемещений и сил исключены компоненты, связанные с условиями закрепления. Для простоты нижний индекс у матрицы [f] опущен.

Соотношения податливости можно записать только для закрепленных неподвижно элементов, иначе при приложении сил будут возникать неопределенные (бесконечные) перемещения тела как твердого целого. Поэтому из уравнения (2.2) исключены степени свободы для некоторых узлов элементов. Очевидно, что соотношения податливости можно вывести для элементов, закрепленных статически неопределимым способом, однако за некоторым исключением эти соотношения трудно согласовать с аналогичными соотношениями для других элементов конечно-элементной модели сложной конструкции.

Уравнения податливости для элемента можно определить стольким количеством способов, сколько имеется статически определимых условий неподвижного закрепления. Для балочного элемента существуют следующие два возможных вида закрепления. Свободное опирание (см. рис. 2.8(b))

2 -Г

Одной из форм смешанных соотношений между силами и перемещениями является форма, использующая передаточную матрицу. Силы и перемещения на одном конце элемента ( L F/ J) переносятся на противоположный конец (LFsjJ) с помощью матрицы 1й1. Например, для консольной балки, изображенной на рис. 2.8(c),

LF/A/J = LifixexJ и l?,,} = lF,м,w,Qi \. в этом

случае коэффициенты матрицы [й] можно определить, используя уравнения статического равновесия элемента и матрицу податливости элемента If]. В разд. 2.6 будет описана эта методика. Другие виды смешанных соотношений можно получить, опираясь непосредственно на основные понятия конечно-элементной модели. Это описано в гл. 6.

2.4. Работа и энергия

Работа W силы равна произведению величины силы на величину перемещения точки приложения в направлении действия силы. Так, для вектора сил {F} и соответствующего вектора перемещений {Д} имеем

где множитель Va отвечает процессу нагружения, при котором нагрузка увеличивается постепенно от нуля до своего конечного значения (т. е. силы инерции, обусловленные динамическим повет-

Рис. 2.9.

дением, пренебрежимо малы). Из рис. 2.9 видно, что для представленной зависимости, связывающей отдельно взятую силу Fi и соответствующее ему перемещение Д,- (рис. 2.9), работа равна площади заштрихованной области.

Соотношение (2.4) можно преобразовать в выражения, содержащие только силы или только перемещения, используя для этого соответственно уравнения жесткости (2.1) или податливости (2.2). Так

W=У,l \[Щ}U, (2.4а)

1=V>LF/JfJl(F/}=*- (2.4b)

Как показано в следующих главах, указанные величины определяют энергию деформации U элемента и дополнительную энергию