И, согласно (12.24Ь), имеем

- J[Lf[Y]d5

Интересно отметить, что численные результаты, полученные с использованием изложенных выше формулировок, совпадают с ре-

г 4 6 а >

Разпер сетки {см.рисЛЫ)

Рис. 12.14. Сравнение численных результатов: смешанные и гибридные треугольные элементы. / - смешанная формулировка [12.6], линейное w, постоянный М\ 2 - смешанная формулировка [12.45], квадратичное w, линейный М; 5- гибридная формулировка для предполагаемых полей напряжений [12.48], линейное W, постоянный М.

зультатами, полученными с использованием матрицы жесткости, построенной на основе полного квадратичного поля перемещений 112.271 [ем. рис. 12.8(b) и уравнение (12.33) из п. 12.3.П. Это можно было предвидеть, рассматривая совокупность степеней свободы,

так как схема, изображенная на рис. 12.13, совпадает с приведенной на рис. 12.8(b), поскольку нормальные изгибающие моменты (Mi, М, Мц) в первой схеме соответствуют угловым смещениям (84,85, 9fi) в последней. Тождественность можно доказать, проводя алгебраические выкладки. Для полностью внутреннего элемента (окруженного элементами того же типа) (Л)=0. Поэтому, как и в разд. 6.7, выражая из верхней части уравнения (12.27) (М) через (Л) и подставляя в нижнюю часть этого уравнения, получим [к]{Л} = {М}, где

Детальное изучение соответствия этих двух формулировок можно найти в 112,43] и [12.44].

Можно, разумеется, использовать представления более высокого порядка как для полей изгибающих моментов, так и для полей перемещений. Логическим обобщением [12.45] является выбор линейно распределенных моментов и квадратично изменяющихся перемещений. Широкий диапазон альтернативных полей изгибающих моментов и перемещений можно найти в [12.22].

Гибридные схемы приводят к совершенно другому классу смешанных формулировок в напряжениях и перемещениях для треугольных изгибаемых элементов. Как и при расчете задач растяжения пластин, гибридный подход в напряжениях, описанный в разд. 6.6, применяется наиболее часто. В работах [12.43] и (12.46-12.48) довольно интенсивно исследуются различные комбинации внутренних изгибающих моментов и граничных полей перемещений.

На рис. 12.14 приведены численные результаты для различных типов смешанных формулировок. Пн-формулировка, основанная на рассмотрении постоянных моментов и линейно изменяющихся перемещений, как уже было отмечено, приводит к результатам, идентичным тем, которые уже были представлены на рис. 12.9 для жесткостной формулировки с шестичленным (квадратичным) полиномом. Смешанная фор.мулировка, основанная на представлении более высокого порядка [12.45] (линейно изменяющиеся моменты, квадратичные перемещения), существенно повышает точность решения Заметим, однако, что в этом случае для каждого элемента требуется вдвое больше узлов (шесть, а не три). Этот факт не нашел отражения на горизонтальной оси рис. 12.14. Наконец, как видно из графика, гибридная формулировка в напряжениях [12.48] с полями, сравнимыми с используемыми в простейшей Пн-формулировке, приводит к решениям, лежащим по другую сторону от точного решения и намного более точным для заданного размера разбиения. Тем не менее приходится вновь предупредить, что при определении относительных преимуществ той или иной формулировки необходимо учитывать много других факторов.

12.4. Прогибы, вызванные поперечным сдвигом

Построение матрицы жесткости элемента для изгибаемых стержня или пластины с учетом деформаций сдвига не может быть осуществлено в явном виде посредством подстановки поля поперечных перемещений (15.14а) в суммарное выражение энергий изгиба и сдвиговых деформаций. Как уже отмечалось (12.49], требование, что при изгибе балок плоские сечения остаются плоскими, приводит к внутреннему ограничению, исключающему деформации сдвига. Когда это ограничение снято, то появляются сдвиговые деформации, обусловливающие дополнительный вклад во внутреннюю энергию, и для того чтобы сохранилось равенство величин внутренней энергии и работы внешних сил, необходимо такое же увеличение работы внешних сил. Таким образом, узловые силы соответствуют возросшим значениям перемещений, и так как коэффициент жесткости определяется по единичному смещению, то значение силы, вызывающее единичное смещение при допущении сдвиговых деформаций, должно уменьшиться.

Рнс. 12.15. Элемент, подверженный нзгнбным и поперечным сдвиговым деформациям, (а) Узловые силы и перемещения в элементе; (Ь) характер поперечных сдвиговых деформаций.

Рассмотрим, например, элемент, изображенный на рис. 12.15. Предполагается, что сдвиговое напряжение -хг существенно постоянно на части площади, обозначенной символом Л и пренебрежимо мало на всех остальных участках (случай балки с широкими фланцами; для других видов поперечного сечения значение площади необходимо помножить на соответствующую константу). Выпучивание из плоскости не рассматривается. Тогда, согласно закону Гука, имеем (рис. 12.15(b)) yxzFJAfi. Кроме того, из теории балок Fi=El{dwldx), поэтому