ствии перерезывающих сил лишь на площади А, и соответствующем ему состоянии однородного сдвига 7, получим -dw/dxQ+yz, или

~yxz=-hdw/dx.

(12.50)

Имея в виду эти условия, можно написать следующее выражение для энергии деформации:

Энергия деформации определяется теперь двумя независимыми величинами 6 и ш. Поэтому выпишем выражение для энергии в дискретном виде, выбирая два независимых поля:

=LNJ{w}, 0=LNoJ{e}, (12.52)

где L J и L Ne J - соответствующие векторы функции формы, а {w} и {Э} - соответствующие степени свободы. Подставляя данные выражения в (12.51), получим

= [к/] {Э} + Ш [к5.] {(iJ + L в J [к>] {W} -f-LJ [к.] {W},

(12.53)

[k/]=S{N9} LNeJ Eldx, [k5.] = S{Ne} LN9J A.Gdx,

[k.]= 5 {Ne} LKJA, Gdx, [k.]= 5 {N;,} L j A.Gdx,

-[к]{Л}, (12.53a)

LAJ = LL0JLwJ J, [k] =

Важно помнить, что выписанные выше выражения для энергии содержат лишь первые производные от независимых переменных. Это означает, что выбранные функции не обязательно должны удовлетворять условию непрерывности наклона при переходе через границы элемента. Это обусловливает подход к анализу изгиба тонких пластин, в котором в качестве основной переменной используется угловое смещение. При этом энергия сдвиговой деформации, определяемая соответствующими членами в выражении энергии, мала и не оказывает существенного влияния при вычислении прогибов.

К сожалению, этот подход не эффективен из-за того, что получаемая матрица плохо обусловлена при стремлении величины энергии сдвиговой деформации к нулю и вырождена, когда энергия равна нулю. Так как это обстоятельство возникает из-за того, что аналитическая модель неустойчива при наличии независимых параметров перемещений [ 9 J и L w J , можно восстановить устойчивость, связывая эти степени свободы в дискретных точках согласно гипотезе Кирхгофа. Так, при 7:=0 из уравнения (12.50) следует 9 = =-dwidx. Так как Q и w записаны в дискретном виде, то на основе этого условия можно выписать уравнения связи для узловых параметров L LJ LJ J.

Применение методики, основанной на дискретной формулировке и учете гипотезы Кирхгофа, отчетливо иллюстрируется на примере, изображенном на рис. 12.17 [12.54]. На свободный конец консольной балки, разбитой на два сегмента, действует сила Ра. Выберем следующие поля перемещений в элементе А:

e = (l-E)9i+E9a, w={l-l)w,+lw

где I - значение безразмерной осевой координаты вдоль элемента (l=x/L). Для элемента В выбираются аналогичные линейные поля.

©

Рис. 12.17

Заметим, что описание параметров w и Q является приближенным. Если пренебречь сдвигом, из (12.51) получим следующее выражение для энергии деформации:

г 2 - 1 О 01 ге,

El 2L

- 10 0 1 О О ООО О О Oj

Теперь, чтобы выписать условия связи между 9 и ш, потребуем, чтобы деформация сдвига уравнялась нулю в центре каждого элемента, т. е. dw/dx+Q=0 в центре каждого элемента. Так как 9 изменяется линейно между концевыми точками i и /, то значение б в середине элемента равно (9(+9;-)/2; поэтому

Щ I в;

+ f = 0,

W3-W2 L

12.6. Эффективность применения трехмерных конечных элементов

Разрешая эту систему относительно 62 и 63, находим

2w3 , iw

L L

и после подстановки в U можно получить уравнения жесткости

4£-/

10 I -3

Решая эти уравнения при 2=0, Рз = Р, находим Юз= 10PLV(4£/) Это значение близко к точному решению 8PL/{3EI). Ошибка обус ловлена тем, что w н О аппроксимировались линейными функциями

В общей конечно-элементной формулировке ограничения вклю чаются более элегантным способом: либо при помощи метода мат ричного преобразования из разд. 3.5, либо при помощи метода мно жителей Лагранжа из разд. 7.3.

Дискретный подход с учетом гипотезы Кирхгофа эффективно использовался при решении задач изгиба пластин [12.60, 12.611, осесимметричных оболочек [12.59] и тонких оболочек общего вида [12.58].

12.6. Эффективность применения трехмерных конечных элементов

В разд. 9.3 показано, что плоско-напряженные двумерные элементы можно приспособить для эффективного представления изгиба пластин, добавляя к базисному линейному полю перемеще-

6 8

Размер сетки {см. рис. 12.6)

Рис. 12.18. Сравнение численных результатов для шестигранных сплошных элементов и треугольных пластинчатых элементов, основанных на согласованных перемещениях. / - редуцированное численное интегрирование энергии деформации сдвига - двадцатиузловой шестигранник [12.62]; 2 - восьмиузловой шестигранник с квадратичными модами [12.48]; 3 - согласованные перемещения [12.38] (девятнчленный полином в подобласти).