12.7. Заключительные замечания

Сама суть конечно-элементного представления изгиба пластин приводит к тому, что достоверные и точные результаты можно получить для моделей, построенных на базе предполагаемых перемещений (на основе принципа минимума потенциальной энергии). Однако выдвигаемым при это.м требованиям к решениям трудно удовлетворить, что приводит к большому объему алгебраических операций при построении базисных коэффициентов матрицы жесткости. Поэтому проявляется значительный интерес к формулировкам изгибных элементов для пластин, основанным на использовании других

нии квадратичные моды перемещения. Анализ пластин и оболочек можно осуществить аналогичным образом, добавив квадратичные моды к шестигранному элементу, построенному на базе линейных полей перемещений. Эта методика обсуждалась в гл. 10. Кроме того, если при построении матриц жесткости элементов применяется численное интегрирование, то можно использовать подход, в котором, как изложено в гл. 9 и 10, осуществляется редуцированное интегрирование сдвиговой составляющей энергии деформации.

На рис. 12.18 представлены результаты, характеризующие эффективность данного подхода при анализе задачи, выбранной в данной главе в качестве тестовой для сравнения. Чтобы проиллюстрировать методику дополнения восьмиузлового шестигранного элемента с линейным полем перемещений квадратичными модами перемещений, приведем результаты, опубликованные в работе [12.48]. Результаты, полученные на основе редуцированного интегрирования энергии сдвиговых деформаций для двадцатиузлового шестигранного элемента, который изображен на рис. 10.10, сообщены в [12.621. Для сравнения приводятся результаты расчетов тонкой пластины с использованием треугольных изгибных элементов, построение матрицы жесткости которых опирается на описанный в п. 12.3.3 прием разбиения на подэлементы. (Следует заметить, что для учета различий в построении элементов для приводимых на рисунке результатов использовался измененный масштаб. Чтобы выяснить истинные значения и применяемые при этом сетки разбиения, следует обратиться к цитируемым ниже работам.) Из рис. 12.18 следует что при использовании модифици)ованного трехмерного элемента получаются достаточно точные £езультаты. Использование формулировок на базе восьмиузлового шестигранного элемента с дополнительными квадратичными модами приводит, по-видимому, к значениям, отличающимся в пределе приблизительно на 1.5% от точного решения. По-видимому, это обусловлено влиянием эффектов, вытекающих из того, что при построении элемента толщина конечна.

Литература

12.1. Gallagher R. Н. Analysis of Plate and Shell Structures.-Proc. of Conf. on Application of Finite Element Method in Civil Eng., Vanderbilt Univ., Nashville, Tenn., 1969, p. 155-206.

12.2. Timoshenko S., Woinowsky-KriegerS. Theory of Plates and Shells, 2nd ed.-New York, N.Y.: McGraw-Hill Book Co., 1969. [Имеется перевод: Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки.- М.: Наука, 1966, 635 с]

12.3. Mansfield Е. Н. The Bending and Stretching of Plates.-Oxford, England: Pergamon Press, 1964.

12.4. Marguerre K., Woernle H. T. Elastic Plates.-Waltham, Mass.: Blaisdell Pub. Co., 1969.

12.5. Southwell R, V. On the Analogues Relating Flexure and Extension of Flat Plates.-Quart. J. Mech. and Appl. Math., 1950, 3, p. 257-270.

12.6. Herrmann L. R. Finite Element Bending Analysis of Plates.- J. Eng. Mech. Div., ASCE, 1967, 93, No. EM-5, p. 13-25.

вариационных принципов с менее жесткими требованиями к предполагаемым функциям. При этом получаются формулировки, приводящие к достоверным и точным результатам, однако возможные области применимости этих формулировок еще далеко не выявлены.

Для задач изгиба пластин еще не выяснены вопросы, касающиеся нахождения компромисса между затратами на формулировку элемента, которые обычно растут с усложнением поведения и геометрии элемента, и глобальным анализом, объем которого уменьшается с ростом затрат на построение элемента. Правильное сравнение этих альтернатив должно включать не только вычислительные затраты, необходимые для достижения требуемого уровня точности решения, но и отражать амортизационные затраты на разработку связанного с ними математического обеспечения.

По-видимому, имея в распоряжении конечно-элементные формулировки как для растягиваемых, так и для изгибаемых пластин, можно путем простой суперпозиции элементов двух типов проводить анализ изгибаемых и растягиваемых тонких оболочечных структур. Это действительно так, хотя при построении глобального представления (см. п. 3.5.3) и при интерпретации величин, входящих в решение, необходимо проявлять определенную осторожность. Большое число исследователей при проведении указанных расчетов отдает предпочтение изогнутым тонким оболочечным элементам, чтобы исключить недостатки, присущие плоским элементам. Однако в этом случае возникает много новых вопросов, связанных с адекватным выбором уравнений теории оболочек, заданием геометрических характеристик, выбором функций перемещений и другими факторами. Обсуждение вопросов применения плоских или искривленных элементов при анализе тонких оболочек не входит в задачу данной книги. Интересующийся этими вопросами читатель может обратиться к работе [12. П.

12.7. Herrmann L. R. A Bending Analysis for Plates.-Proc. (First) Coni. on Matrix Metfiods in Struct. Mecfi.-AFFDL TR 66-80, Oct. 1965, p. 577-604.

12.8. Bogner F. K.,FoxR. L.,Schmit L. A. The Generation of Interelement, Compatible Stiffness and Mass Matrices by the Use of Interpolation Formulas.- Proc. (First) Conf. on Matrix Methods in Struct. Mech.-AFFDL TR 66-80, Nov. 1965.

12.9. Dawe D. J. A Finite Element Approach to Plate Vibration Problems.-J. Mech. Eng. Sci., 1965, 7, p. 28-32.

12.10. Qopalacharyulu S. A Higher Order Conforming Rectangular Element.-Int. J. Num. Meth. Eng., 1973, 6, No. 2, p. 305-308.

12.11. Irons B. (Comment on Ref. [12.10]).-Int. J. Num. Meth. Eng., 1973, 6, No. 2, p. 308-309.

12.12. Wegmuller A., Kostpm C. Finite Element Analysis of Plate and Eccentrically Stiffened Plates.-Fritz Eng. Lab. Report No. 378A. 3, Lehigh Univ., Bethlehem, Pa., Feb. 1973.

12.13. Walz J. E., Fulton R. E., Cyrus N. J. Accuracy and Convergence of Finite Element Approximations.-Proc. of 2nd Conf. on Matrix Methods in Struct. Mech.-AFFDL TR 68-150, Oct. 1968, p. 995-1027.

12.14. Fraeijs de Veubeke B. A Conforming Finite Element for Plate Bending.- Int. J. Solids and Struct., 1968. 4, No. 1, p. 95-108.

12.15. Clough R., Felippa C. A Refined Quadrilateral Element for the Analysis of Plate Bending.-Proc. of 2nd Conf. on Matrix Methods in Struct. Mech.- AFFDL TR 68-50, oct. 1968, p. 399-440.

12.16. Greene B. E., Jones R. E., McLay R. W., Strome D. Generalized Variational Principles in the Finite-Element Method.- AIAA J., July 1969, 7,1254-1260. [Имеется перевод: Ракетная техн. н космон.- М.: Мнр, 1969, №7.]

12.17. Kikuchi F., Ando Y. Some Finite Element Solutions for Plate Bending Problems by Simplified Hybrid Displacement Method.-Nuc. Eng. Design, 1972, 23, p. 155-178.

12.18. Plan T. H. H. Element Stiffness Matrices for Boundary Compatibility and for Prescribed Boundary Stresses.-Proc. (First) Conf. on Matrix Methods in Struct. Mech.-Wright-Patterson AFB, Ohio, AFFDL TR 65-80, Oct. 1965, p. 457-478.

12.19. Severn R., Taylor P. The Finite Element Method for Flexure of Slab? when Stress Distributions are Assumed.-Proc. Inst. Civil Eng., 1966, 34, p. 153- 163.

12.20. Allwood R., Cornes G. A Polygonal Finite Element for Plate Bending Problems using the Assumed Stress Approach.-Int. J. Num..Meth. Eng., 1969. 1, No. 22, p. 135-149.

12.21. Cook R. D. Two Hybrid Elements for the Analysis of Thick, Thin, and Sandwich Plates.-Int. J. Num. Meth. Eng., 1972, 5, No. 2, p. 277-288.

12.22. Bron J., Dhatt G. Mixed Quadrilateral Elements for Bending.-AIAA J., Oct. 1972, 10, No. 10, p. 1359-1361.

12.23. Fraeijs de Veubeke В., Sander Q., Beckers P. Dual Analysis by Finite Elements: Linear and Non Linear Applications.-AFFDL TR 72-93, Dec. 1972.

12.24. Abel J., Desai C. Comparison of Finite Elements for Plate Bending.-Proc. ASCE, J. Struct. Div., Sept. 1972, 98, No. ST9, p. 2143-2148.

12.25. Bazeley Q., Cheung Y., Irons В., Zienkiewicz 0. Triangular Elements in Plate Bending-Conforming and Non-Conforming Solutions.-Proc. of (First) Conf. on Matrix Methods in Struct. Mech.-AFFDL TR 66-80, Oct. 1965, p. 547-576.

12.26. Razzaque A. Q. Program for Triangular Elements with Derivative Smoothing.-Int. J. Num. Meth. Eng., 1973, 6, No. 3, p. 333-344.

12.27. Morley L. S. D. The Constant-Moment Plate Bending Element.-J. Strain Analysis, 1971, 6, No. 1, p. 20-24.

12.28. Harvey J. W., Kelsey S. Triangular Plate Bending Elements with Enforced Compatibility.-AIAA J., 1971, 9, p. 1023-1026.