АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГИХ ТЕЛ

в этой главе метод конечных элементов распространяется на решение задач линейной теории устойчивости упругих тел. Линейный анализ потери устойчивости упругих систем сводится к определению критических значений нагрузок, приводящих к выпучиванию упругой конструкции. При этом распределение внутренних усилий, вызванных заданным распределением прикладываемых нагрузок, находится независимо в результате решения отдельной задачи. Хотя физические условия, связанные с разрушением конструкции, включают аспекты нелинейной теории потери устойчивости наряду с вопросами неупругого деформирования, линейная теория устойчивости точно записывает условия разрушения, представляющие интерес при проектировании большого числа конструктивных элементов, особенно балок и пластин. Таким образом, линейная теория устойчивости упругих тел служит основой для постановки большого числа прикладных задач проектирования. Даже если для точного расчета величины разрушающих нагрузок необходимо учитывать нелинейные эффекты, адекватное качественное решение часто получается на базе линейной теории.

Метод конечных элементов играет важную роль при решении задач линейной теории устойчивости, потому что с его помощью можно учесть нерегулярности нагружения и гео.метрии конструкции, которые не поддаются учету в классических методах. При использовании классических методов для анализа конструкций, созданных из материала с анизотропными свойствами, встречаются те же трудности. Кроме того, концепции и конечно-элементные соотношения, соответствующие линейной теории, служат базой для построения нелинейной теории устойчивости.

Как и в других разделах теории метода конечных элементов, изучение устойчивости упругих тел состоит из двух этапов: (1) форму-лирош<и соотношений для элемента и (2) решения полной системы. В гл. © и 6 показано, что существует много путей построения конеч-

но-элементных соотношений и достаточное число способов реализации указанных операций. Ниже рассмотрим лишь принцип стационарности потенциальной энергии, в качестве предполагаемых полей рассматриваются поля перемещений, а соотношения для элемента, отвечающие указанному подходу, имеют вид уравнений жесткости. Следовательно, изучение всей конструкции осуществляется с использованием уравнений жесткости посредством метода перемещений. Высокая универсальность и гибкость вычислительных программ конечно-элементного анализа жесткости, написанных для анализа задач статики, позволяет применять эти программы с небольшими изменениями и для анализа линейной теории устойчивости упругих тел.

Общая теория конечно-элементного анализа устойчивости упругих систем приводится в разд. 13.1. Далее следуют разделы, в которых излагаются вопросы, в основном касающиеся призматических и пластинчатых элементов.

13.1. Общая линейная теория анализа устойчивости

Сначала рассмотрим призматический элемент постоянного сечения (рис. 13.1), который часто встречается в пространственных фермовых конструкциях и в качестве ребра жесткости в подкрепленных

Рис 13.1. Призматический элемент.

пластинах и оболочках. Этот элемент позволяет проиллюстрировать формулировки жесткостных свойств конечного элемента в задачах линейной теории устойчивости и в то же время дает возможность вникнуть в ключевые аспекты, присущие всем конструктивным формам.

Предполагается, что элемент работает только на растяжение и изгиб, дефор.мацией сдвига пренебрегаем. Поэтому имеем следующее уравнение, связывающее деформацию и перемещения:

Здесь первый и второй члены - известные компоненты осевой и из-гибной деформации соответственно, а третий член, который является

нелинейным по w, представляет собой связанную деформацию изгиба и растяжения. Появление этого члена поясняется на рис. 13.2, где изображен элементарный отрезок длины в деформированном состоянии. Длину dx после деформации можно представить в виде

dx =

Разлагая это выражение в ряд, имеем dx -

Этот ряд обрезается после второго члена, который равен третьему члену из выражения (13.1) и характеризует вклад указанного эффекта в полную осевую деформацию.

-dx-

f/енагружетое - состояние

реформированное состояние

Рис. 13.2. Вид смещения.

Энергия деформации для элемента дается выражением (/=4-J £ed(vol)

(13.2)

и после подстановки выражения (13.1) в (13.2) (причем d(vol) = =dAdx) получим

EdAdx. (13.3)

I dw \ I dwY , I du\( dwy

Затем выполним интегрирование по толщине элемента, учитывая, что

dA = A, 5гйЛ = 0, 5гМЛ = /, (13.4)