где Ikfl - обычная матрица изгибной жесткости и

(13.21)

дш) дх

(13.22)

Для [к ] и [kg ] справедливы выражения, аналогичные (13.21). Если ввести

[kj = [[k .] + [kgj + [k,j]. (13.23)

то (13.20) примет тот же вид, что и (13.13).

Интересно отметить, что члены, описывающие эффекты потери устойчивости, имеют геометрическую природу и не зависят от свойств материала. Следовательно, способ учета этих эффектов одинаков как для изотропных, так и для ортотропных пластин; т. е. [kg] не зависит от степени анизотропии пластин.

13.2. Глобальная формулировка

Потенциальная энергия для системы получается простым суммированием потенциальных энергий отдельных элементов. Поэтому глобальная потенциальная энергия имеет тот же вид, что и энергия элементов, т. е.

Psysitm

= 2№р = -Ц1К/ЛА,} + -Ц[К,]{А,} + 1/, (13.24)

где в данном случае

[K]=[Sk],

[KJ=[2kJ.

(13.24а, Ь)

Здесь суммирование производится по всем элементам системы. Векторы {А/} и {Р} суть перемещения и приложенные нагрузки соответственно. Заметим, что {Р} соответствует нагрузкам, связанным с изгибом. Здесь опущены нижние индексы /, так как они уже использовались для обозначения сил, связанных со свободно перемещающимися узлами. Здесь необходимо подчеркнуть, что в задаче имеются силы {Рд}, связанные с деформированием в осевом направлении, которые, однако, не входят в {Р}. Считаем, что нагрузки консервативны, т. е. работа этих сил 1 на любых кинематически возможных перемещениях зависит только от начальной и конечной конфигураций системы. Тем самым исключаются случаи, когда направление действия силы отслеживает направление отклоненного элемента системы, на который эта сила действует.

Для условий равновесия в невозмущенном состоянии, т. е. когда осевая сила меньше критической нагрузки, применение принципа стационарности потенциальной энергии в виде равенства нулю первой вариации от Пр (т. е. бПр=0) приводит к уравнению жесткости

{P}=[Ki]{A,}+[Kg]{\,}. (13.25)

При этом {А/} можно определить из уравнения (13.25), используя обычные средства, причем мы придем к результатам, учитывающим взаимодействие осевого и поперечного деформирования, влияние осевых нагрузок на жесткостные характеристики балки. Следует отметить, что таким образом можно учесть эффект увеличения изгибной жесткости при действии растягивающих нагрузок.

Чтобы рассмотреть вопрос потери упругой устойчивости, когда интенсивность системы осевых нагрузок, вызывающих выпучивание, еще не известна, инкрементальная матрица жесткости должна быть вначале подсчитана численно при произвольно выбранной интенсивности нагрузки (предполагается, что распределение осевых сил фиксировано). При выпучивании считаем, что интенсивность системы осевых нагрузок в со раз больше произвольно выбранной интенсивности сил {Ра}, использованных при построении матрицы [kg], поэтому уравнение равновесия принимает вид

6np = [K/]{A}-f(o[y{A,}-{P}=0. (13.26)

В этом месте необходимо рассмотреть условия нейтрального равновесия; они определяют собственное значение ш и отвечающую ему моду выпучивания {А,}. Необходимую информацию нельзя получить, рассматривая первую вариацию функционала потенциальной энергии, поэтому следует выписать вторую вариацию бПр=б(бПр).

Из рис. 6.2, на котором схематически изображена зависимость потенциальной энергии от некоторого представительного параметра перемещения А, следует, что в состоянии устойчивого равновесия б2Пр>0, а для нейтрального равновесия б-Пр=0. Последнее условие определяет точку бифуркации искомого решения. Теперь, применив эти условия к (13.24), запишем вторую вариацию потенциальной энергии в виде

дтр=1дА \[K]{dAf}=0,

и так как в данном случае [К]=[К/1+[К1, то

[K,]+lKgl=0, (13.27)

где символом обозначен детерминант.

Таким образом, имеем условие, согласно которому детерминант матрицы (13.27) равен нулю. Альтернативой этому условию является то, что не существует единственного решения (условие бифур-

(В действительности, возможно любое разбиение общей совокупности степеней свободы, однако для простоты рассмотрения и обозначения оставим деление на степени свободы {w} и {в}. Согласно разд. 2.8, преобразование от L J степеням свободы L J > основанное на традиционной матрице жесткости [к], имеет вид

- кГ к

{w} = [r ]{w}. (13.28)

Матрица преобразования [Го1 используется теперь для преобразования обычной матрицы жесткости [к] и геометрической матрицы

кации) уравнения (13.26), если найдется вектор {Л} и скаляр со, такие, что [К/+соК]{А/}=0.

Вычисление детерминанта с целью определения значения со для системы большого порядка неэффективно. Обычно используют модификацию уравнения (13.27), умножая его на {А}. После преобразований получим

{М=[К/]-ЧК,]{А/}. (13.27а)

С помощью итерационных методов или другим способом находят наименьшее значение величины со и соответствующий собственный вектор {А,}.

В обсуждаемых задачах для балок и пластин вектор степеней свободы {А;} состоит как из трансляционных Wi, так и из угловых перемещений 6;. Интуитивно может показаться, что знания трансляционных перемещений достаточно для адекватного определения моды выпучивания и по этой моде можно было бы в свою очередь достаточно точно вычислить интенсивность критической нагрузки. Провести в явном виде процедуру конденсации в задаче на собственные значения, представленной уравнением (13.27), неудобно, так как в результате получатся матрицы, из которых нельзя выделить со. В этом случае следовало бы применить итерационный процесс. С другой стороны, описанная в разд. 2.8 процедура конденсации, которая строго применима лишь для традиционных матриц жесткости, может быть использована и для геометрических матриц жесткости с целью получения приближенной конденсированной матрицы.

Приспособим процедуру из разд. 2.8 для решения рассматриваемой задачи следующим образом. Предположим вначале, iTO вектор перемещений разбит на трансляционные и угловые составляющие, т.е. LJLwiej. Для матрицы Ikl, например, имеем