Тел. ОАО «Охрана Прогресс»
Установка Видеонаблюдения, Охранной и Пожарной сигнализации.
Звоните! Приедем быстро! Установим качественно! + гарантия 5 лет.
 
Установка технических средств охраны.
Тел. . Звоните!

Главная  Проектирование конструкций 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12  13  14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

деформации U*. Видно, что обе величины U н U* суть квадратичные функции параметров ( Д J и L J соответственно.

Как указывалось в разд. 2.3, всем возможным формам матрицы податливости для данного элемента отвечает одна и та же дополнительная энергия деформации. К примеру, рассмотрим вновь балочный элемент. Если балка свободно оперта (см. рис. 2.8(b)), то

2 -1 - 1 2

Чтобы сравнить с консольной балкой, вначале необходимо выразить силу Fi через моменты и М. Из условия равенства моментов относительно правой точки опоры (точки 2) получим Fi=-(Mj-f-+Мг)/1. Дополнительная энергия деформации для консольной балки имеет вид

&EI

2L 3L 3L 6

После подстановки полученного выше выражения для f i в формулу для и* и проведения выкладок приходим к выражению для U* в зависимости от Mi и М, полностью совпадающему с приведенным выше.

2.5. Свойства взаимности

Коэффициенты податливости и жесткости для линейно-упругого тела обладают свойством взаимности ifijfa и кц=кл). Этот факт имеет важное значение с точки зрения эффективности вычислительного процесса и может быть также полезен при проверке правиль-

Рис. 2 10.


ности коэффициентов, получаемых численно или аналитически. Чтобы доказать теорему взаимности и тем са.мым определить пределы ее применимости и налагаемые при этом ограничения, рассмотрим выражения для работы, производимой над закрепленной конструкцией, изображенной на рис. 2.10, последовательно прикладываемыми нагрузками и fj. Обозначим указанную работу через



W. При постепенном приложении нагрузки Fi

W,=V (A,)xf,=V.(/ufi)fi. (2.5)

где нижний индекс у IF, и справа от круглых скобок, содержащих Аь означает соответствие силе 1. Прикладывая теперь Fa и оставляя неизменной F, с использованием аналогичных обозначений получим

W,~4,{A,UF,+iA,UF,4,(f F,)F,+(f,F,)Fu (2.6) поэтому полная работа Wi равна

r, = r + r,=V,/u(fi)+V,,(f,) +/i,f,f.. (2.7)

Меняя теперь порядок приложения сил и вновь подсчитывая вклад каждого слагаемого в работу, получим для нагружения силой f, (работу для указанной последовательности нагружений обозначим через 1F )

Wu=.hF,=4J {F,Y (2.5а)

и для прикладываемой вслед за этим силы Fi

W,=У,(,)гF + (,)гF,=УJn(Fгr+fnFгFг, (2.6а)

так что

W =tt .+ W =4J {F,r+y,UF,y+f2iFiF,. (2.7а)

Так как для линейного упругого тела последовательность приложения нагрузок не влияет на величину производимой работы, можно приравнять полученные выражения для W и, сократив подобные члены, получим

/ =/12. (2.8)

В общем случае будем иметь

fij4n- (2.9)

Это утверждение известно как теорема взаимности Максвелла.

Так как матрица, обратная симметричной матрице, также симметрична, а матрица жесткости является обратной к матрице податливости, то имеем

kijku. (2.10)

Теорема взаимности Максвелла обычно устанавливается как специальный случай закона Бетти, который гласит, что работа, производимая системой нагрузок {Pi} на перемещениях {Аа}, вызванных системой нагрузок {Р}, равна работе, производимой системой сил {Pj} на перемещениях {Ai}, вызванных силами {Pi}.



2.6. Преобразование соотношений жесткости и податливости

Имея для элемента один тип соотношений между силами и перемещениями, можно получить другие типы соотношений с помощью простых операций. Рассмотрим сначала преобразование соотношений жесткости в соотношения податливости. Проиллюстрируем этот случай на примере плоского элемента, изображенного на


У, V


х, и

Рнс. 2.11. Плоский элемент, (а) Незакрепленный; (Ь) закрепленный.

рис. 2.П (а). Как указано в разд. 2.3, при построении соотношений податливости элемент должен быть закреплен таким образом, чтобы исключить движение его как твердого целого, и система должна быть статически определима. Указанный способ закрепления элемента изображен на рис. 2.П(Ь).

Величины, отвечающие закреплению, обозначаются нижним индексом S, а величины, соответствующие оставшимся степеням свободы,- нижним индексом /.

Итак, разбиваем матрицу жесткости следующим образом:

(2.11)

где для случая, изображенного на рис. 2.11(b), каждая из подматриц ([к ] и т. д.) является (ЗхЗ)-матрицей и

{А/} = L i 2 J {s) = L 3 щ щ J

Так как из-за условий закрепления {А,}=0, то

(2.12)

(2.13)




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12  13  14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139



Установим охранное оборудование.
Тел. . Звоните!