13.4. Элементы для пластин 417

НИЯ и выполнение интегрирования приводят к матрицам [kg ], [kgl и [ке], представленным в табл. 13.2, Подробнее о формулировке эти.х матриц см. [13.13]. Соответствующие матрицы для шест-надцатичленной формулировки можно найти в [13.14].

Интересно сравнить результаты, полученные с помощью этих альтернативных формулировок для критической нагрузки защемленной квадратной пластины при однородном сжатии, используя, как показано на рис. 12.5, единственный элемент внутри квадранта. Все узловые перемещения, за исключением Wi, равны нулю, поэтому поведение пластины описывается единственным уравнением. Используя базисный коэффициент жесткости из табл. 12.1 и геометрический коэффициент жесткости из табл. 13.2 (при Х2=Уз=с1), для две-надцатичленной формулировки имеем

3[120(1 + 1)-24(0.3) + 84] = К или а, = .

Используя геометрические коэффициенты жесткости, приведенные в [13.14] для шестнадцатичленной формулировки, получим ол = =26.5D/a, в то время как аналитическое решение [13.15] равно 24.8D/at. Таким образом, оба решения относительно точны для этой исключительно грубой сетки.

На рис. 13.13 представлены графики, характеризующие ошибку в процентах как функцию от параметров разбиения при подсчете на основе указанных альтернативных формулировок критической нагрузки равномерно нагруженной свободно опертой квадратной пластины. Как двенадцатичленное, так и шестнадцатичленное представление приводит к точным решениям, которые сходятся к правильному результату. Для шестнадцатичленной формулировки характер сходимости соответствует стремлению к результату сверху. Дополнительные вычислительные затраты, обусловленные существованием дополнительных степеней свободы в каждом узле, лишь частично окупаются точностью решения, полученного на базе межэлементно согласованной шестнадцатиэлементной формулировки.

Последнее утверждение подтверждается результаталш, представленными на рис. 13.13, которые получены с помощью процедуры конденсации, описанной в разд. 13.2. В результате процедуры конденсации исключаются все степени свободы, за исключением поперечных смещений в узлах Wt, при этом достигается та же точность, что и для двенадцатичленной полиномиальной модели с тремя степенями свободы в каждом узле.

Приведенный пример выявляет одно из наиболее важных преимуществ использования метода конечных элементов при анализе устойчивости пластин. Так как силы в плоскости постоянны, нет необходимости проводить анализ для нахождения их распределе-

Исмедуемый кваЗрат

-i--

Чист элементов в квадранте

-1 -2--3--4 --5 -6 -7-

Рис 13 13 Сравнение численных результатов при анализе потери устойчивости пластин - прямоугольные элементы I - согласованная (16 степеней свободы) формулировка со схемой редукции, 2 - согласованная (16 степеней свободы) формулировка без схемы редукции, 3 - двенадцатичленный полином

НИЯ внутри пластины Однако если силы в плоскости не однородны либо отвечают сосредоточенным нагрузкам или геометрия пластины имеет особенности (например, пластина с подкрепленными вырезами или специальной формы в плане), проблема в сущности трудноразрешима с помощью классических аналитических методов С другой стороны, метод конечных элементов легко учитывает эти случаи благодаря тому, что силы в срединной поверхности легко находятся из конечно-элементного анализа плоско-напряженного состояния, как описано в гл 9.

Задачи

13 1. Докажите, применяя вариационные процедуры, описанные в гл 6, что уравнение (13 11) является уравнением Эйлера для функционала, задаваемого выражением (13 10) (V=0 )

13 2. Выпишите уравнение Эйлера для функционала (13 31), отвечающего из-гибно-крутильночу деформированию

13 3 Решение определяющего дифференциального уравнения изгиба при действии осевой нагрузки (13 11) имеет вид (см рис 13 1)

fcos W (L-x) + (cos (oL- cos wx)-\-aiL sin aiL[\-{x/L)]-\]

-aLsln (oL-2(l-cos(oL)2-/ +

+ [ ]w2+[ ]e. + [ Юа,

где (ifi=FjEI Примените эту функцию перемещений при определении коэффициента жесткости, связывающего sui и f,

13.4. Если матрица жесткости для балочно-стержневого элемента формулируется с использованием точной функции перемещений, то коэффициент жест-

Литература

13 1 L \esley R К Matrix Methods of Structural Analysis Chapter 10 -Oxford.

England Pergamon Press, 1965 13 2 Wang С T Applied Elasticity -New York, N Y McGraw Hill Book Co ,

1954

13 3 Gallagher R , Lee В Matrix Dynamic and Instability Analysis with Non uniform Elements -Int J Num Meth Eng , 1970, 2, No 2, p 265-276

13 4 Barsoum R , Gallagher R Finite Element Analysis of Torsional and Lateral Stability Problems -Int J Num Meth Eng , 1970 2, No 3, p 335-352

13 5 Halldorsson О , Wang С К Stability Analysis of Frameworks by Matrix Methods-Proc ASCE,J Struct Div , July 1968, 94, No ST7 p 1745-1760

13 6 Hartz В J Matrix Formulation of Structural Stability Problems -Proc ASCE J Struct. Div , Dec 1965, 91 No ST6, p 141-158

13 7 Gallagher R , Gellatly R , Mallett R , Padlog J A Discrete Element Procedure for Thin Shell Instability Analysis-AIAA J , Jan 1967,5,No l,p 138- 144

13 8 Anderson R. G , Irons В M , Zienkiewicz О С Vibrations and Stability ol Plates Using Finite Elements -Int J Solids and Struct , Oct 1968, 4, p 1031-1035

13 9 Argyris J H , et al Some New Elements for the Matrix Displacement Me thod - Proc of the 2nd Air Force Conference on Matrix Methods in Structural Mechanics, Dayton, Ohio, Oct 1968

13 10 KabailaA P , Fraeijs de Veubeke В Stability Analysis by Finite Elements- AFFDL TR 70 35, Mar 1970

13 11 Vos R G Vann U P A Finite Element Tensor Approach to Plate Buckling and Postbucklins - Int J Num Meth Eng, 1973 5 No 3, p 351-366

13 12 Clough R W , Fehppa С A A Refined Quadrilateral Element for Analysis of Plate Bending - Proc of 2nd Conf on Matrix Methods instruct Mech- AFFDL TR 68 160 Oct 1968

13 13. Przemieniecki J S Discrete Element Methods for Stability Analysis of Complex Structures - Aero J , Dec 1968, 72, p 1077-1086

13 14 Pifko A Isakson G A Finite Element Method for the Plastic Buckling Analysis of Plates - AIAA J Oct 1969, 7, No 10, p 1950-1957

13 15 Timoshenko S , Gere J Theory of Elastic Stability, 2nd ed - New York, N Y McGraw Hill Book Co , 1961