Тел. ОАО «Охрана Прогресс»
Установка Видеонаблюдения, Охранной и Пожарной сигнализации.
Звоните! Приедем быстро! Установим качественно! + гарантия 5 лет.
 
Установка технических средств охраны.
Тел. . Звоните!

Главная  Проектирование конструкций 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13  14  15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

Уравнения, записанные выше линии, разделяющей матрицу, представляют собой независимую систему уравнений, связывающую внешние силы {F} с соответствующими допустимыми узловыми смещениями. Решая указанные уравнения путем обращения матрицы Ikff], получим

{A=[f]{F, (2.14)

[fl = [k/-i. (2.15)

(Заметим, что операция обращения матрицы обозначается степенью -1.) Матрица [f], по определению, состоит из искомой совокупности коэффициентов податливости элемента. Поэтому соотношения податливости выводятся из соотношений жесткости путем статически определимого закрепления тела с последующим исключением столбцов и строк матрицы жесткости, отвечающих компонентам закрепления, и обращением матрицы из оставшихся элементов.

Чтобы осуществить обратный процесс построения полной матрицы жесткости по известной матрице податливости, необходимо начать с обращения матрицы податливости. Итак,

{F=[fl-4A/}=[M{A/}- (2.16)

Так как матрица податливости отвечает статически определимому неподвижному закреплению, то соотношения, связывающие внешние силы и реакции опоры, легко устанавливаются путем выписывания уравнений статического равновесия. Эти соотношения могут быть записаны в виде

{F }=[R1{F/} (2.17)

и при помощи подстановки уравнений (2.16) получим

{F,}=[Rl[f-4A/}=[M{A/}. (2.18)

так что

[k,/] = [R][f]-i. (2.19)

Для получения остальных составляющих полной системы уравнений жесткости исследуем предполагаемую конечную форму этих соотношений, т. е. уравнений (2.11). Работа, выполненная внешними нагрузками {F/} на соответствующих им перемещениях {А}, должна равняться работе, производимой оставшимися силами {F} на соответствующих им перемещениях {А}, если считать, что {F/} становятся реакциями опоры. Это можно записать в матричном виде следующим образом:

VLF J{A,}=V,LA/J{F/}. (2.20)

Так как в результате транспонирования соотношений (2.18) LF, J = LA/Jlkg/F, то (2.20) можно записать в виде

U L А/ J[k,/r{A.}=V, L А/ J {F/}. (2.20a)



Поэтому конструируемая матрица жесткости принимает вид

[f]- I

[к]=

L[R][f]-i[R][f]-[Rf

(2.24)

В итоге оказывается, что матрица жесткости строится путем обращения матрицы податливости и матрицы [R1, которая получается из условий статического равновесия элемента. Исходная матрица [fl является симметричной. Так как [к/] получается в результате транспонирования [ksf], то указанные блоки результирующей матрицы жесткости симметричны. Также видно, что блок [kJ представляется в виде произведения трех матриц, причем первый сомножитель получается транспонированием последней матрицы. Указанное тройное произведение, называемое конгруэнтным преобразованием, дает симметричную матрицу, если центральная матрица в произведении симметрична. Следовательно, так как (fl симметрична, то и [kJ симметрична. Соотношения (2.24) представляют общую формулу преобразования матрицы податливости в матрицу жесткости с учетом степеней свободы, отвечающих движению тела как твердого целого. Число s усилий в опорах предопределено требованиями неподвижности и статической определимости системы, а на число внешних сил / нет ограничений (т. е. отсутствуют ограничения на размерность матрицы податливости).

Чтобы проиллюстрировать эту процедуру, рассмотрим консольный балочный элемент, изображенный на рис. 2.8(c). Матрица податливости [fl была выписана ранее, а уравнения для реакций имеют вид

- I О -L -1

Поэтому стоящая в правой части равенства матрица 2x2 есть матрица [R]. Читатель может проверить, что использование матриц tf] и [RJb (2.24) приводит к указанной ранее матрице жесткости для балочного элемента.

Поэтому

{Р,}=[МТ{Л.}=[к/,]{ЛЛ. (2-21)

Следовательно, с учетом (2.19) получим

[M=[f]-4R]t. (2.22)

Принимая во внимание окончательный вид матрицы жесткости (см. (2.11)), можно вывести из условий равновесия те же соотношения, что и в (2.17). Подставляя (2.21) в (2.17) и учитывая (2.22), приходим к равенству

{F,}=[Rl[f]-4R]nA }=HJ{Ae}- (2.23)



(2.3а,

Квадратная матрица, стоящая в правой части данного уравнения, играет роль матрицы [Q] из (2.3). Символом нуль в правом верхнем углу матрицы (2.3а) обозначена нулевая матрица, т. е. матрица, состоящая полностью из нулевых элементов.

2.7. Преобразование степеней свободы

Часто уравнения, записанные для некоторых степеней свободы А}, необходимо записать относительно других степеней свободы А). Наиболее распространен случай, когда исходные степени свободы отвечают одной системе координат и требуется, чтобы уравнения задачи были записаны для степеней свободы, отвечающих другой системе координат. Иными словами, разыскивается преобразование координат. В общем случае преобразованные степени свободы могут не иметь определенного физического смысла, а их число не обязательно должно совпадать с числом исходных степеней свободы. Соотношение, связывающее указанные две системы степеней свободы, можно записать в виде

{А}=[Г1{А}. (2.25)

Предположим, что уравнения, которые требуется преобразовать, имеют вид

lkl(A)={F}. (2.26)

Теперь в нашем распоряжении имеются все соотношения, позволяющие построить определенные в разд. 2.3 соотношения между усилиями и перемещениями смешанного вида. В этом представлении величины \ Ff Af J выражаются через f J Решая сначала (2.17), имеем

{F} = [R1-4F..}- (27а)

Используя далее (2.24) (верхний блок), записываем верхнюю часть соотношения (2.11) в виде уравненил

{F}=[f] -ЧАЛ+1 f I RI (А,). (2.24а)

Разрешая относительно {А}, получим

{A}=m{F}-[RF{A,}. (2.24b)

После подстановки (2.17а) для {F/} имеем

{A}=[f][R]-HF,}-[R]{A.}. (2.24с)

Тогда, используя (2.17а) и (2.24с), приходим к соотношению




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13  14  15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139



Установим охранное оборудование.
Тел. . Звоните!