Уравнения, записанные выше линии, разделяющей матрицу, представляют собой независимую систему уравнений, связывающую внешние силы {F} с соответствующими допустимыми узловыми смещениями. Решая указанные уравнения путем обращения матрицы Ikff], получим

{A=[f]{F, (2.14)

[fl = [k/-i. (2.15)

(Заметим, что операция обращения матрицы обозначается степенью -1.) Матрица [f], по определению, состоит из искомой совокупности коэффициентов податливости элемента. Поэтому соотношения податливости выводятся из соотношений жесткости путем статически определимого закрепления тела с последующим исключением столбцов и строк матрицы жесткости, отвечающих компонентам закрепления, и обращением матрицы из оставшихся элементов.

Чтобы осуществить обратный процесс построения полной матрицы жесткости по известной матрице податливости, необходимо начать с обращения матрицы податливости. Итак,

{F=[fl-4A/}=[M{A/}- (2.16)

Так как матрица податливости отвечает статически определимому неподвижному закреплению, то соотношения, связывающие внешние силы и реакции опоры, легко устанавливаются путем выписывания уравнений статического равновесия. Эти соотношения могут быть записаны в виде

{F }=[R1{F/} (2.17)

и при помощи подстановки уравнений (2.16) получим

{F,}=[Rl[f-4A/}=[M{A/}. (2.18)

так что

[k,/] = [R][f]-i. (2.19)

Для получения остальных составляющих полной системы уравнений жесткости исследуем предполагаемую конечную форму этих соотношений, т. е. уравнений (2.11). Работа, выполненная внешними нагрузками {F/} на соответствующих им перемещениях {А}, должна равняться работе, производимой оставшимися силами {F} на соответствующих им перемещениях {А}, если считать, что {F/} становятся реакциями опоры. Это можно записать в матричном виде следующим образом:

VLF J{A,}=V,LA/J{F/}. (2.20)

Так как в результате транспонирования соотношений (2.18) LF, J = LA/Jlkg/F, то (2.20) можно записать в виде

U L А/ J[k,/r{A.}=V, L А/ J {F/}. (2.20a)

Поэтому конструируемая матрица жесткости принимает вид

[f]- I

[к]=

L[R][f]-i[R][f]-[Rf

(2.24)

В итоге оказывается, что матрица жесткости строится путем обращения матрицы податливости и матрицы [R1, которая получается из условий статического равновесия элемента. Исходная матрица [fl является симметричной. Так как [к/] получается в результате транспонирования [ksf], то указанные блоки результирующей матрицы жесткости симметричны. Также видно, что блок [kJ представляется в виде произведения трех матриц, причем первый сомножитель получается транспонированием последней матрицы. Указанное тройное произведение, называемое конгруэнтным преобразованием, дает симметричную матрицу, если центральная матрица в произведении симметрична. Следовательно, так как (fl симметрична, то и [kJ симметрична. Соотношения (2.24) представляют общую формулу преобразования матрицы податливости в матрицу жесткости с учетом степеней свободы, отвечающих движению тела как твердого целого. Число s усилий в опорах предопределено требованиями неподвижности и статической определимости системы, а на число внешних сил / нет ограничений (т. е. отсутствуют ограничения на размерность матрицы податливости).

Чтобы проиллюстрировать эту процедуру, рассмотрим консольный балочный элемент, изображенный на рис. 2.8(c). Матрица податливости [fl была выписана ранее, а уравнения для реакций имеют вид

- I О -L -1

Поэтому стоящая в правой части равенства матрица 2x2 есть матрица [R]. Читатель может проверить, что использование матриц tf] и [RJb (2.24) приводит к указанной ранее матрице жесткости для балочного элемента.

Поэтому

{Р,}=[МТ{Л.}=[к/,]{ЛЛ. (2-21)

Следовательно, с учетом (2.19) получим

[M=[f]-4R]t. (2.22)

Принимая во внимание окончательный вид матрицы жесткости (см. (2.11)), можно вывести из условий равновесия те же соотношения, что и в (2.17). Подставляя (2.21) в (2.17) и учитывая (2.22), приходим к равенству

{F,}=[Rl[f]-4R]nA }=HJ{Ae}- (2.23)

(2.3а,

Квадратная матрица, стоящая в правой части данного уравнения, играет роль матрицы [Q] из (2.3). Символом нуль в правом верхнем углу матрицы (2.3а) обозначена нулевая матрица, т. е. матрица, состоящая полностью из нулевых элементов.

2.7. Преобразование степеней свободы

Часто уравнения, записанные для некоторых степеней свободы А}, необходимо записать относительно других степеней свободы А). Наиболее распространен случай, когда исходные степени свободы отвечают одной системе координат и требуется, чтобы уравнения задачи были записаны для степеней свободы, отвечающих другой системе координат. Иными словами, разыскивается преобразование координат. В общем случае преобразованные степени свободы могут не иметь определенного физического смысла, а их число не обязательно должно совпадать с числом исходных степеней свободы. Соотношение, связывающее указанные две системы степеней свободы, можно записать в виде

{А}=[Г1{А}. (2.25)

Предположим, что уравнения, которые требуется преобразовать, имеют вид

lkl(A)={F}. (2.26)

Теперь в нашем распоряжении имеются все соотношения, позволяющие построить определенные в разд. 2.3 соотношения между усилиями и перемещениями смешанного вида. В этом представлении величины \ Ff Af J выражаются через f J Решая сначала (2.17), имеем

{F} = [R1-4F..}- (27а)

Используя далее (2.24) (верхний блок), записываем верхнюю часть соотношения (2.11) в виде уравненил

{F}=[f] -ЧАЛ+1 f I RI (А,). (2.24а)

Разрешая относительно {А}, получим

{A}=m{F}-[RF{A,}. (2.24b)

После подстановки (2.17а) для {F/} имеем

{A}=[f][R]-HF,}-[R]{A.}. (2.24с)

Тогда, используя (2.17а) и (2.24с), приходим к соотношению