Предположим также, что каждая компонента Р\ вектора усилий {F} производит работу UFAi на перемещении Д, а ее работа вдоль любой другой компоненты перемещения равна нулю.

Если выполняются указанные условия, т. е. условия справедливы при действии сил ортогональных направлениях, то такие векторы сил и перемещений называются сопряженными векторами. Обе системы векторов {А}, {F} и {А}, {Р} выбираются сопряженными. Чтобы величина работы оставалась инвариантной при заданном преобразовании, необходимо выполнение равенства LFJ{}= = L F J {А}, откуда с учетом (2.25) имеем L F J [Г1{А}= L F J {А}, следовательно, [ РJ [Г]= Р J , или после транспонирования

[Г1Т{Р}={Р}, (2.27)

где символом (-) обозначена совокупность сил, полученная в результате преобразования {Р}.

Откуда вытекает, что преобразование перемещений (2.25) подразумевает преобразование сил согласно (2.27). Преобразования сил и перемещений называются контраградиентными, если оговорены условия сопряженности. Если преобразование сил задано, то матрица преобразования перемещений получается в результате транспонирования сил. Принцип контраградиентности очень важен в том случае, когда преобразования перемещений (или сил) легко находятся, исходя из физического смысла, а преобразование сопряженного вектора осуществить нелегко. Это имеет место, например, если уменьшение числа степеней свободы осуществляют путем процедуры преобразования, описанной в разд. 2.8.

]3,ля уяснения следствий проведенных выше рассмотрений, касающихся соотношений жесткости элемента, удобно иметь дело с введенными в разд. 2.4 величинами энергии деформации и внешней работы. Потребуем снова, чтобы величина работы оставалась инвариантной при заданном преобразовании. Выполняя непосредственную подстановку (2.25) в (2.4а) и (2.4), получим

= [к] {А} = [ГГ [к][Г] {\\ = Ц[к] {А}. (2.4с)

Г = -Ц11{Р} = Ц 1[Г]{Р} = кА{Р}. (2.4d)

Следовательно, преобразованная матрица жесткости, отмеченная знаком {), дается выражением

[kl=imkl[ri. (2.28)

Вектор сил, естественно, преобразуется согласно (2.27). Задаваемое соотношением (2.27) преобразование [к] в [к] имеет вид конгруэнтного преобразования. Таким образом, если [к1 - симметричная матрица, то и преобразованная матрица [к] должна быть симметричной.

Если осуществляется преобразование для ортогональных осей координат, то указанные формулы можно получить более непосредственно, проведя, однако, несколько больше выкладок. Предположим, что преобразование компонент перемещения задается в результате непосредственного рассмотрения соотношений, связываю-

Рис. 2.12.

щих векторы смещений {Л} и {Л}. Вместо того чтобы принять соотношение (2.27) в качестве преобразования векторов сил, предположим, что это преобразование задается независимо, в результате непосредственного рассмотрения соотношения, связывающего векторы сил {F} и {F}. Запишем указанное преобразование в виде

{F}=[ri{F}. (2.29)

Поэтому, подставляя (2.25) и (2.29) в (2.26), получим

[k][r]{A}=[r]{F}

[r]-i[k][r]{A}={F}. (2.30)

Преобразование координат в случае ортогональных координатных осей обладает свойством [Г][Г1г=1], где \W - единичная матрица, т. е. диагональная матрица, все элементы которой равны единице. Так как, по определению обратной матрицы, [Г][Г]~1=[1], то

[Г]т=[Г]-1.

(2.31)

Если матрица обладает свойством (2.31), т. е. ее транспонированная матрица равна ее обратной матрице, то такая матрица называется ортогональной. Подставив (2.31) в (2.30), приходим к определению [к], данному в (2.28).

Предположим, к примеру, что матрицу жесткости для плоского элемента, заданную в системе координат х и у, показанной на рис. 2.12, требуется задать в системе координат л: и у. Для векторов, отнесенных к произвольной точке р элемента, имеем преобразование

cos ф

1ыр\ Г zo% ътЛЫЛ [иЛ

[ -з1пф созф]\w / --it/

созф -sin ф sin ф cos ф

Поэтому, если весь элемент содержит л/2 узлов (т. е. в рассматриваемом плоском случае п степеней свободы), искомая матрица преобразования всего элемента имеет вид

Г[Гх]

[Г] =

(символом г J обозначается диагональная матрица).

Так как не требуется обращать матрицу преобразований, а нужно лищь транспонировать ее, то можно определить неквадратные матрицы преобразования координатных осей. Матрица жест-

~х, и

Рис. 2.13.

кости стержневого элемента (разд. 2.3) характеризует два осевых смещения. Этот элементе глобальной системе координат (рис. 2.13) описывается шестью компонентами смещений. Обозначая направляющие косинусы осей элемента в системе координат х, у и z через Ixx, Ix-y и т. д., представим преобразование координатных осей