в виде

l.X Ixy lx2 О 0 0

[ООО

2 2

(Для удобства в точке 2 показаны только глобальные (без штриха) компоненты, а в точке 1 - только осевая компонента ul.)

2.8. Конденсация

Термин конденсация означает снижение размерности системы уравнений при помощи исключения некоторых степеней свободы Чтобы сократить общее число исходных степеней свободы, редуцированная система уравнений (конденсированные уравнения) должна быть выражена в терминах заранее выбранных степеней свободы {Ad, которые хотят оставить, а также через дополнительные степени свободы {Аь}, те LAJ = LLAbJLAcJJ Исходные уравнения представляются следующим образом

и редуцируются (конденсируются) к виду

lkcc]{Ac}={Fe}.

(2 32)

(2 33)

Рассмотрим подход, в котором конденсирование основано на преобразовании координат. Итак, задача состоит в построении соотношений

(2 34)

где [Го1 - искомая матрица преобразований. Для этого решим сначала верхнюю часть уравнения (2 32)

{A,}=-[kbb-4kJ{Ae}+[kbb-4Fb}.

(2 35)

Так как второй член в правой части соотношения есть константа для заданных нагрузок, соотношения жесткости между степенями свободы {Ас} и {Аь} задаются с помощью матрицы-[кьь)~Чкьс1 Замечая также, что {А,} = [){А}, можно записать следующее

преобразование координат *

{ЛЛ = [Г ]{АЛ.

(2 36)

Применяя указанное преобразование к уравнению (2.32) как обычное преобразование координат, получим соотношения (2 33), где

[kJ = [[kJ-[M[M-4M], (2 37)

{F.} = [Г ] { pj = {FJ-[Kb] [КьГ {FJ. (2

Заметим, что данное преобразование, полученное на основе соотношений, связывающих лишь степени свободы, можно применять также для преобразования векторов в правосторонней системе координат.

Эти результаты можно непосредственно получить, если подставить (2 35) в нижнюю часть уравнения (2 32), однако конденсация на основе преобразования степеней свободы [Го] оказывается полезной при анализе динамической и упругой устойчивостей и может оказаться удобной с точки зрения программирования даже для линейных задач статики

Для иллюстрации рассмотрим вновь консольную балку, изображенную на рис 2 8(c), и исключим с помощью конденсации степень свободы 6i. Опорная матрица жесткости получается из представ-

* Может вначале показаться, что преобразование, задаваемое с помощью (2 36), должно содержать постоянный вектор {Ай}= [kt(,-i{Fb}, входящий в (2 35), и записываться в виде

(2 36а)

Однако можно доказать, что наличие вектора \ \ьО J не оказывает влияния на преобразование Вектор Д(,0 J отвечает движению тела как твердого целого Хотя преобразование, включающее движение тела как твердого целого, изменяет пол ную энергию системы, алгебраические уравнения, которые задают поведение конструкции (например, уравнения жесткости (2 1)), выводятся из условия ста ционарности энергии, а на это условие движение тела как твердого целого не влия ет Можно убедиться в этом, подставляя (2 36а) в выражение для потенциальной энергии

После подстановки в указанное выражение соотнощений (2 36а) и последующего дифференцирования по {Дь} приходим к результату, совпадающему с результатом, получаемым, если применить преобразование [Го! Представления, поясняющие эту последовательность операций, содержатся в гл. 6 и 7,

ленной в разд. 2.3 матрицы с помощью вычеркивания третьих и четвертых столбцов и строк. В результате имеем

2L -3L -3L 6

Так как исключению подлежит верхняя строка, то kbb-EIlL, kbc=-QEIIL . Поэтому матрица преобразования, используемая для конденсации, имеет вид

Применяя это преобразование к матрице жесткости следующим образом: 1Го1=1к1[Го1 и к правой части в виде 1Го1{Р}, получим

Откуда, выражая TOj, получим

х1\ =

3£t

Т. е. точное уравнение податливости для этой конструкции.

Интересно отметить, что конденсация матрицы жесткости означает удовлетворение условиям равновесия, которые соответствуют исключаемым элементам.

Возможность использовать данный подход для конденсации представится в разд. 3.5. Он будет также применяться в книге и для ряда других целей.

2.9. Выделение мод движения тела как твердого целого

Обычный подход к построению определенных типов элементов, особенно искривленных, делает затруднительным выявление числа и типов мод движения тела как твердого целого, содержащихся в получаемой матрице жесткости. В настоящем разделе определяются алгебраические операции, которые необходимо проделать с матрицей жесткости элемента, чтобы получить эту информацию.

Включение степеней свободы, отвечающих движению тела как твердого целого, в совокупность уравнений жесткости элемента приводит к линейной зависимости некоторых уравнений от других. Линейная зависимость существует в системе уравнений, если одно из них можно записать как линейную комбинацию других уравнений системы. Можно также интерпретировать линейную зависимость и с геометрической точки зрения: систему уравнений п-то