2.9. Выделение мод движения теле как твердого целого 63

порядка МОЖНО представить как систему из п векторов с проекциями (компонентами) на п осей. Если два вектора - в нашем случае наборы коэффициентов двух уравнений - коллинеарны, то имеет место линейная зависимость.

Коэффициенты системы уравнений жесткости элемента, вообще говоря, связаны, т. е. внедиагональные коэффициенты отличны от нуля. Поэтому каждая строка есть вектор с отличными от нуля проекциями на более чем одно из п главных направлений. Указанные строки можно преобразовать в векторы, соответствующие п главным направлениям. Эти векторы имеют одну ненулевую компоненту, лежащую на главной диагонали матрицы, и образуют в совокупности диагональную матрицу. Если пара исходных векторов коллинеарна, то один из диагональных элементов окажется равным нулю (число главных направлений меньше, чем размерность исходных векторов на единицу). Если существует s наборов колли-неарных векторов, то на диагонали матрицы, задающей главные направления, будет S нулевых элементов.

Исходя из вышеизложенного, число мод движения тела как твердого целого, содержащихся в матрице жесткости элемента, можно определить, преобразуя матрицу жесткости к диагональному виду (к главным направлениям); число диагональных нулевых элементов равно числу указанных мод. Чтобы выполнить требуемое преобразование, найдем собственные векторы и соответствующие им собственные значения матрицы жесткости. С этой целью определим вначале характеристическое уравнение для матрицы [к]. Характеристическое уравнение для матрицы [к] есть алгебраическое уравнение, получающееся в результате раскрытия детерминанта к-(1)11=0. Если [к] - матрица порядка пХп, то для со получается алгебраическое уравнение п-й степени, а корни уравнения coi, ...

. . . , СО;.....ы являются собственными значениями матрицы

[к]. Собственный вектор, отвечающий собственному значению СО;, есть ненулевой вектор {d,}, удовлетворяющий уравнению [kl{d,} = {d,}a),.

При условиях, широко распространенных в анализе линейных систем, собственные векторы ортогональны по отношению к матрице [к]. Согласно этому свойству, для двух произвольных собственных векторов {d(}, {dj} (i=/=j) справедливо

Ld/J[k]{dy}=0. (2.39a)

Кроме того, если {d/} нормировать таким образом, чтобы LdiJ{d,}=l. то

Ld, J[kl{d,}=u),. (2.39b)

Рассмотрим теперь (пхп)-матрицу [Г], столбцы которой суть собственные векторы матрицы [к], т. е.

[rj = [{d,}. . .{di}. . .{d }l. (2.40)

Если построить конгруэнтное преобразование матрицы [к], используя [Г] в качестве матрицы преобразования, то свойства (2.39) гарантируют получение диагональной матрицы жесткости, называемой модальной матрицей жесткости f km J. Поэтому

rkmj=[rj[kl[r,]. (2.41)

Очевидно, число независимых уравнений в [к] определяется ненулевыми членами в модальной матрице жесткости fkJ. Число нулевых главных диагональных элементов дает число мод движений тела как твердого целого. Собственные векторы, отвечающие указанным строкам матрицы, описывают вид соответствующих смещений тела как твердого целого. Так как главные диагональные члены являются также собственными значениями, поиск мод движений тела как твердого целого сводится к нахождению нулевых собственных значений.

Чтобы проверить высказанные соображения, рассмотрим матрицу жесткости для изображенного на рис. 2.7 стержневого элемента. В этом случае соответствующая задача на собственные значения может быть записана в виде

- (О -

--со

= 0.

Раскрывая детерминант, получим со -(2Л£/1)(о=0, так что = =0, 2AEIL, а нормализованные собственные векторы имеют вид

1 Г

1 -1

Наконец, применяя преобразование (2.41), приходим к соотношению

О О О 2

Здесь стержневой элемент обладает одной степенью свободы движения тела как твердого целого. Существует поэтому одно собственное значение, равное нулю, и соответствующий собственный вектор, отвечающий движению элемента как твердого целого (осевому смещению элемента).

Можно дать другую интерпретацию вышеизложенной процедуры. Движение тела как твердого целого приводит к нулевому значению потенциальной энергии деформации, так как деформации при таком движении отсутствуют. В терминах главных направлений вклады в энергию деформации даютгя выражениями Uli } VmAii}- Вклады в энергию, обусловленные собствен-

ными векторами, отвечающими движению тела как твердого целого, должны быть равны нулю. Чтобы это имело место, соответствующие собственные значения должны быть равны нулю.

Литература

2.1. Beaufalt F., Rowan W. Н Hoadley P. G., Hacketl R. M. Computer Methods of Structural Analysis.-Englewood Cliffs, N. J.: Prentice-Hall, Inc., 1970.

2.2. Meek J. L. Matrix Structural Analysis.-New York, N. Y.: McGraw-Hill Book Co., 1971.

2.3. Wang C.K. Matrix Methods of Structural Analysis, 2nd ed.-Scranton, Pa.: International Textbook Co., 1970.

2.4. Willems N., Lucas W. Matrix Analysis for Structural Engineers.-Englewood Cliffs, N. J.: Prentice-Hall, Inc., 1970.

Задачи

2.1. Получите смешанную форму зависимостей между силами и перемещениями для балочного элемента (см. (2,3)).

2.2. Для заданной матрицы податливости балочного элемента проверьте, что величина дополнительной энергии деформации равна аналогичной энергии для свободно опертого элемента.

2Z.2 -3L-

Рис. Р2.2. fl.i

2.3. Ниже вписана матрица податливости для треугольного пластинчатого элемента, находящегося в плоском напряженном состоянии (рис. Р2.3). Вычислите

Рис. Р2.3, W

матрицу жесткости элемента и проверьте правильность полученного результата, сравнивая ее с матрицей жесткости, показанной на рис. 5.4.

Е1хгУъ

3 № 2547