2.4. Ниже приводится матрица податливости для треугольного элемента при =Ug=0. Докажите, что величина дополнительной энергии деформации совпадает с аналогичной энергией, отвечающей матрице податливости в задаче 2.3.

; (х 2У

Хз-2

- XiXi-i

] {Симметричт)

,/v V 4- i 9 2 , X\.j. +y\

2.5. Л\атрицу податливости консольной балки, изображенной на рис. 2.8(c), можно модифицировать так, чтобы учесть эффект влияния поперечных сдвиговых деформаций. Это можно осуществить путем прибавления LlAfi к коэффициентам податливости, связывающим и f т. е. [/ii=(L/3£/-f 0)], где - эффективная площадь сдвига (эквивалентная площадь постоянного по величине сдвигового напряжения, которая приводит к той же суммарной величине сдвигового уси.ия, что и получаемое по балочной теории распределение сдвиговых напряжений в реальном поперечном сечении), а G - модуль сдвига. Вычислите соответствующую матрицу жесткости элемента.

2.6. Матрица податливости искривленной балки, нагружеиной в ее плоскости, приведена на рис. Р2.6. Постройте матрицу жесткости элемента.

P - sin fi

Рис. P2.6.

2.7. Постройте матрицу (RJ, отвечающую равновесию изогнутого балочного элемента, лежащего в плоскости х - у, как показано на рис. Р2.7.

Рис. Р2.7.

2.8. Проверьте выполнение условий равновесия для третьего и четвертого столбцов матрицы жесткости треугольного элемента, находящегося в плоском напряженном состоянии (см. рис. 5.4).

2.9. Проверьте выполнение условий равновесия для первого и шестого столбцов матрицы жесткости прямоугольного элемента, находящегося в плоском напряженном состоянии (см. рис. 9.13).

2.10. Проверьте выполнение условий равновесия для первых двух столбцов матрицы жесткости прямоугольного пластинчатого элемента при изгибе, представленной в табл. 12.1.

2.11. На рис. P2.ll приведена матрица жесткости трехузлового стержневого элемента. Осуществите конденсацию этого представления и получите систему уравнений жесткости для и, и и.

1 I 7

Рис. P2.lt.

X. и

2.12. Матрица жесткости треугольного пластинчатого элемента, находящегося в плоском напряженном состоянии, задана в координатных осях (х, у), причем {Р}=(к]{Д}, где

LA J = L i 2 3 vjvivaj.

Для изображенного на рис. Р2.12 элемента постройте матрицу преобразования к осям (д:, у, г) глобальной системы координат.

(21,21,20)

(27, 16,17)

Рис. Р2.12.

2.13. Вычислите собственные значения н собственные векторы матрицы жесткости для простого изгибаемого элемента и интерпретируйте результат с точки зрения движения тела как твердого целого.

2.14. Докажите закон Бетти, разбивая матрицу податливости конструкции и используя теорему взаимности.

2.15. В разд. 2.8 было отмечено, что конденсация матрицы жесткости означает удовлетворение условиям равновесия, отвечающим исключенным перемещениям. Обсудите смысл конденсации матрицы податливости.

2.16. Матрица жесткости стержневого элемента [к] построена в ортогональных осях X и у и должна быть преобразована к косоугольной системе координат; , у. Постройте преобразованную матрицу жесткости.

л.х Рис. P2.I6.