Для элемента В (элемент 2-3) справедливо /i/L=0.5/56.56, cos ф=-0.707, sin (р=0.707:

= 106

0.442

-0.442 0,442 (Симметрично)

-0.442 0.442 0.442

0.442 -0.442 -0.442 0.442

Для элемента С (элемент 1-3) i4/L=0.75/50, cos ф=0.6, sin ф=0.8:

= 10

0.540

-0,540 0.540 Симметрично)

0.720 -0,720 0.960

-0.720 0.720 -0.960 0.960

их из

Для элемента D (элемент 1-2-3) (относительно алгебраической записи матрицы жесткости см. рис. 5.4):

1.272

-0,695 1.127

-0.577 -0.433 1.010

0.613 -0.035 -0.577

-0.118 -0.459 0.577

-0.495 0.495 О

(Симметрично) 1.272

0.377 0.860 -1.64Э -1.237 2.866

Ul 2

Построение глобальной матрицы жесткости. Суммируя полученные уравнения, имеем

2.812 -1.695

= 10

-1.215

Использование граничных условий для перемещений. .Здесь Ui=Vi=Vi-0. Выделите первый, четвертый н пятый столбцы и выпишите отдельно соответствующие строки:

= 10

2.569 -0.875 0.936 -0.875 1.992 0.278 0.936 0.278 4.288

Обращение матрицы жесткости н подсчет перемещений. Обращая полученную матрицу и подставляя Яд.,=4000 фунтов, Я(,= 10 ООО фунтов, Ру,= 2000 фун-

тов, находим

Uj ] Г 5.203 2.466 -1.2961 СР,

Из [ = 10-е 2.466 6.235 -0.943

Уз j [- 296 -0.943 2.677

Вычисление сил реакцииопоры. Из первой, четвертой и пятой строк глобал1г-ной системы уравнений жесткости (с исключенными соответствующими столбцами) получаем

0.04288 дюйма 0.07033 дюйма -0.00926 дюйма

= 10

- 1.695 -1.117 -I.2I5 -0.035 -1.297 -2.609 -0.901 1.019 -1.678

(силы даны в фунтах). Эти значения согласуются со значениями для статического равновесия всей конструкции.

Вычисление осевых сил в элементах. Для элемента А из матрицы жесткости элемента со столбцом, отвечающим i=0, получаем f Д=-f J=-10* ,= =-10*-0.04288=-4288 фунтов.

Для элемента В (столбец, соответствующий v, исключен)

\ Уг

- 1623 фунта-J 1623 фунта

Результирующее осевое усилие равно У{-1623)+(1623)=2294 фунта. Для элемента С (столбцы, соответствующие Uj, v, исключены)

V Ц,

= -10

0.540 0.720 0.720 0.960

0.070331 J313n

00926( ~ \4175J

Результирующее осевое усилие равно V(3131)+(4175)=5218 фунтоз.

Подсчет напряжений в элементе D. Используя приведенную на рис. 5.5 матрицу напряжений элемента и исключая столбцы, отвечающие Ui, и v, получим

а {.=3.925-103

40 О 21

12 О 70 -10.5 24.5 О

0.04288 дюЛма 0.07033 дюйма -0.00926 дюйма

( 5969 фунт/дюйм2 = - 525 фунт/дюйм 4996 фупт/люй.м°

В заключение обращаем внимание на то обстоятельство, что пе все степени свободы элемента, фигурирующие в уравнении (3.1) с необходимостью будут аналитически связаны с дополнительными степенями свободы соседних элементов. Простым примером этого может служить представленный на рис. 3.5 случай балочного элемента с внутренним шарниром в соединении i. Угловые перемещения эле.ментов А и В (0f и ef) независимы друг

от друга и не связаны. Это сведется к заполнению начальных элементов отдельных столбцов в глобальной матрице жесткости. В гл. 6 показано, что основные теоретические предпосылки, используемые прн построении конечных элементов, обеспечивают выполнимость условий допусти.мости для степеней свободы соседних элементов. Некоторые элементы обладают большн.м числом

©

Рис. 3.5.

степеней свободы, чем это требуется для выполнения условии допустимости. В некоторых случаях, тем не менее, желательно связать указанные степени свободы, но в других случаях (особенно для пластинчатых и оболочечных элементов) невозможно осуществить это согласование. Эти вопросы вновь затрагиваются в гл. 12.

3.3. Метод конгруэнтных преобразований в жесткостном анализе

При построенпн глобальной матрицы жесткости не обязательно следовать методике, описанной в разд. 3.2. Одна из альтернатив заключается в образовании несвязанного массива, состоящего из всех матриц жесткости элементов, и последующего введения связей между элементами посредством построения и применения преобразования координат, в котором степени свободы элементов и узлов включают преобразованные векторы. Назовем этот подход методом конгруэнтных преобразований. Рассмотрим сначала конструкцию, задаваемую с по.мощью р конечных элементов, для которых индивидуальные уравнения жесткости записываются в виде (3.1). Объединим уравнения жесткости элементов:

{F}=rkJ{An. (3.10)

где и - векторы, включающие степени свободы соот-

ветствующих элементов, т. е.

F1=L LF4LF4.--LFJ...LFJ (3.11)

m=l LAJ LA4.--LA4-..LAJ (3.12)

a ГJ - диагональный массив подматриц, в котором каждый блок на диагонали является одной из матриц жесткости элемен rj,