Массив Г к J называется несвязанной глобальной матрицей жесткости.

Теперь необходимо связать элементы. Для этого используем условия непрерывности перемещений в узлах конструкции, пред-ставляе.мые алгебраическими уравнениями

{А<}=[А] {А}, (3.14)

где {А} объединяет глобальные перемещения в узлах, а [А] называется глобальной кинематической матрицей или матрицей связности. (В дальнейшем проиллюстрируем вид матрицы \А] с помощью простого примера.) Рассматривая величину работы (см. разд. 2.4), можно построить соответствующие преобразования для сил. Для этого запишем сначала это преобразование символически

{Р}=Ш {F}, (3.15)

где 11 - глобальная статическая матрица, так как очевидно, что она соответствует уравнениям, обеспечивающим равновесие внешних {Р} и внутренних {Р} сил. Поэто.му в (3.15) каждая строка имеет вид (3.2).

Используя введенное в разд. 2.4 понятие работы, выразим производимую внешними силами работу в виде

Wext = V,LPJ {А} (3.16)

И, используя (3.15), получим

W t=4,l¥J[BV{A}. (3.16а)

Кроме того, работа, производимая внутренними силами, задается выражением

ш=У,1? \ {А}, (3.17)

или, согласно (3.14),

Whu=V,LFJ[>l] {А}. (3.17а)

Учитывая условие равенства работ, производимых внутренними и внешними силами, и сравнивая соотношения (3.16а) и (3.17а),

а именно

Г [к]

rkJ= [к] (3.13)

получим

Ш=1А]. (3.18)

Применим теперь эти соображения непосредственно для преобразования уравнения (3.10). Основываясь на введенной в разд. 2.7 методике преобразования, выпишем глобальные уравнения жесткости в обычном виде, т. е. в виде соотношений (3.5), где

Ш=1А]Гк \[А]. (3.19)

Может оказаться, что метод конгруэнтных преобразований менее эффективен, чем пря.мой метод жесткости. В методе конгруэнт ных преобразований требуется построить матрицы fkJ и [А] каждая из которых имеет большую размерность, чем матрица [KI а также перемножить матрицы согласно (3.19). С другой стороны усилия, затрачиваемые на построение несвязанной матрицы жест кости, минимальны. Составляющие матрицы элементов не должны содержать моды движения тела как жесткого целого; в этом случае можно исключить степени свободы, соответствующие статически определимым неподвижным условиям закрепления. Блок матрицы жесткости, который необходимо оставить, чтобы включить afkJ, обозначается в (2.11) через [куу]. Более строгое описание этой процедуры приводится в разд. 7.1, однако для настоящих рассуждений достаточно заметить,.что процедура преобразования, описываемая выражением (3.19), сводится к освобождению каждого элемента от соответствующего закрепления.

Операции, задавае.мые соотношением (3.19), также очень просты ввиду свойств матрицы [А]. Изучим структуру этой матрицы. Вообще говоря, если элементы Л, В, С п D связаны в узле со степенями Д,-, то требование совместности перемещений приводит к уравнению Ai = &f=Af=Af==Af, которое образует столбец в матрице

[А], где на каждой позиции, отвечающей Д..... Af, стоит

единица, а остальные элементы столбца суть нули.

Далее следует отметить, что использование матриц жесткости элементов в глобальной системе координат приводит к тому, что ненулевые элементы матрицы [А\ равны единице. Построенная та КИМ образом .матрица называется булевой матрицей, н очевидно что структура матрицы обусловливает высокую эффективность вы числительных алгоритмов перемножения матриц согласно (3.19) Если матрица жесткости элемента записана только в координатах связанных с элементом, то соотношения (3.14) трансформируются причем используется преобразование от локальной системы коор динат к глобальной. В этом случае элементы матрицы [А] не обя зательно строго равны единице и матрица [Л] не имеет вид булевой матрицы. В худшем случае, однако, [А\ - разреженная матрица с коэффициентами, равными единице, с направляющими косинусами и линейными размерами. Более того, как показано в разд. 7.1,

соотношения (3.19) не обязательно включают формальный алгоритм перемножения матриц.

Чтобы проиллюстрировать этот подход, рассмотрим опять подкрепленный треугольный пластинчатый элемент, изображенный на рис. 3.4. Матрицы Г кJ и [А] представлены на рис. 3.6. В под-Несвязанные уравнения жесткости {F*}=f kj А}. (Для каждого элемента задаются статически определимые условия закрепления,)

Соотношение связи {Д*} = {Л {Д

Перемножая матрицы [A\ r*J[*], приходим к матрице жесткости (с учетом условий закрепления), построенной па рис. 3.4.

Рис. 3.6. Метод конгруэнтных преобразований при построении уравнений жесткости в иллюстративном примере.

матрицах, которые соответствуют матрица.м жесткости элементов, отсутствуют члены, отвечающие движению элемента как жесткого целого. Согласно предположениям, положенным в основу проводимых вычислений, соответствующих рис. 3.4, векторы, определенные в узлах элементов, записываются в глобальных направлениях,