Очевидно, что в действительности в большом числе случаев нагрузки распределены по поверхности конструкции. Подобные силовые воздействия учитываются с помощью введения статически эквивалентных узловых нагрузок, и, хотя интуитивно очевидный процесс пропорционального распределения или сосредоточения обычно приводит к приемлемым численным результатам, в гл. 6 будет показано, что метод конечных элементов естественно приводит к более приемлемому, но не очевидному с интуитивной точки зрения определению узловых усилий, эквивалентных распределенным нагрузкам.

При проектировании реальных конструкций учет целого ряда физических факторов приводит к появлению в расчетных схемах величин, действие которых эквивалентно действию нагрузок. Распределение температуры в конструкции может вызывать стесненное тепловое расширение. Чтобы решить эту задачу численно, необходимо преобразовать температурные деформации в фиктивные нагрузки или перемещения. В гл. 6 в определяющие соотношения, связывающие силы и перемещения для элемента, вводятся члены, учитывающие влияние тепловых и других начальных деформаций.

Следует отметить, что метод конечных элементов вносит ряд дополнительных преимуществ в расчет температурных напряжений. Последовательная методология конечно-элементного анализа задач теплопроводности пригодна для расчета распределения температуры в конструкции. Основные идеи расчета стационарных задач теплопроводности методом конечных элементов излагаются в разд. 5.4. В работах [3.7, 3.8] описывается более подробно применение метода конечных элементов в этой области, не связанной непосредственно с расчетом конструкций, включая решение нестационарных задач теплопроводности. Имеется возможность применить одну и ту же программу общего назначения, реализующую метод конечных элементов, как для расчета температур, вызванных тепловым потоком, так и температурных напряжений, возникающих из-за наличия температурного поля. Кроме того, в тех случаях, когда свойства материала зависят от температуры, можно задать характеристики для каждого элемента в зависимости от значения температуры в элементе.

Граничные условия для перемещений в действительности не всегда задаются посредством стеснения степеней свободы (заданием нулевых перемещений). В некоторых случаях перемещение в точке есть заданная величина, что может быть учтено в операциях, изложенных в предыдущих разделах. Упругое закрепление можно учесть, вводя либо упругие элементы (пружины) в соответствующих узлах, либо специальный конечный элемент, который строится, чтобы представить упругое закрепление на границе, прилегающей к нему. Иногда перемещения некоторого числа узлов на границе конструкции связаны с помощью специальных условий связи. Эти

И другие особенности учета условий закрепления изучаются в разд. 3.5.

Более тонким аспектом метода конечных элементов является возможность учета сложных физических свойств материала. Почти все имеющиеся классические решения относятся к конструкциям, созданным нз однородных изотропных материалов. При расчете методом конечных элементов ограничения на однородность материала снять трудно, но вполне возможно, однако неоднородный случай в книге не рассматривается. Как показано в главах, где строятся конечные элементы, анизотропные свойства материала можно учесть, однако, без существенного усложнения вычислительного процесса. Действительно, что касается возможностей учета указанных аспектов, они далеко превзошли возможности получения таких экспериментальных данных о свойствах материала, которые бы точно отражали степень анизотропии среды.

Выше нашей целью было проведение линейного анализа. Сфера действия метода конечных элементов по сравнению с классическими методами будет даже шире в области решения нелинейных задач, таких, как расчет пластических деформаций, когда не представляется возможным получить аналитическое решение даже для тел простой формы. В книге не рассмотрены вопросы численного исследования неупругих конструкций и других нелинейных задач; однако, чтобы получить представление о прогрессе, достигнутом в указанном направлении, читателю рекомендуется ознакомиться с работами [3.9, 3.101.

3.5. Специальные операции 3.5.1. Разбиение на подконструкции

Большинство реальных конструкций настолько велико и сложно, что минимально допустимая конечно-элементная модель всей конструкции выдвигает чрезмерно высокие требования к возможностям вычислительной техники при решении полученных уравнений. В связи с этим приходится решать задачу поэтапно, при этом основные части конструкции, называемые подконструкциями, рассчитываются отдельно, а затем полученные решения объединяются. Примеры даны в разд. 1.3. Кроме того, на практике процесс проектирования часто начинается с независимых расчетов уже существующих подконструкции, и окончательные проектировочные расчеты оказывается эффективным проводить с использованием данных о подконструкциях. Более того, подход, при котором рассчитываются отдельные подконструкции, позволяет проектировщику оперировать с промежуточными числовыми данными для компонент конструкции, что важно при повторяющихся расчетах, встречающихся, напри.мер, в оптимальном проектировании и нелинейном анализе.

На рис. 3.9 показана вся конструкция, разбитая на три основные подконструкций F, G н Н. Рассмотрим сначала жесткостные характеристики подконструкций G. Здесь используются следующие нижние индексы: с - степени свободы, соответствующие границам, разделяющим подконструкций; d - степени свободы, принадле-

Рис. 3.9. Схема разбиения на подконструкций (прикладываемые нагрузки не изображены); / - типичный узел, отвечающий степени свободы с; 2 - типичный узел внутри подконструкций (узел d).

жащие только подконструкций G, т. е. не связанные ни с какой другой подконструкцией. Предполагается, что рассматриваются модифицированные уравнения жесткости для подконструкций, учитывающие условия закрепления. Соотношения жесткости для подконструкций G можно записать в виде (для простоты записи символы, указывающие на принадлежность соотношений подконструкций G, не используются)

(3.20)

Можно сначала решить верхние уравнения в (3.20), чтобы выразить перемещения, относящиеся к рассматриваемой подконструкций (А}, в терминах граничных смещений, замечая при этом, что для соответствующих степеней свободы силы {Р} есть не что иное, как приложение нагрузки (Р}. Имеем

{Л,!=[М-МРЛ-[М-Чк..]{ЛЛ, (3.21)

{F.} = [[М-[М[Ка]- [Ко]] {\}+[К.][Ка]- {Р.}. (3.22) Для простоты введем обозначения

{К}=-[Ка][Ка]-{Ра}, (3.23)

[Кс] = [[Кс]-[Ка][Ка]-ПКс]1 (3.24) поэтому (3.22) запишется в виде

{F,) = lU {A,}+{Rc}. (3.25)