Пренебрегая теперь членами, имеющими более высокий порядок малости, что соответствует предположению о малости деформаций, имеем

ех=ди/дх. (4.7а)

Аналогично для деформации вдоль оси у

&y=dv/dy. (4.7b)

Деформация сдвига уу определяется как изменение значения угла, бывшего прямым до деформации. Указанный вид деформации также изображен на рис. 4.5, откуда становится ясным, что изменение угла, вызванное перемещением отрезка АВ в направлении оси X в положение АВ, равно

(l/dx) (dv/dx) dx=dv/dx.

Аналогично получим изменение угла при перемещении отрезка AD в направлении оси у. Следовательно,

Уху=ди/ду-\-dv/dx. (4.7с)

Уравнения (4.7а, Ь, с) являются соотношениями, связывающими деформации и перемещения в плоском случае. В трехмерных зада чах остается лишь добавить следующие соотношения, обозначив через W компоненту перемещения в направлении оси г:

е. = 17. V..= a7+ar, V = - + - (4.7d,e,f)

При решении задач методом конечных элементов надо иметь в виду одно обстоятельство, касающееся связи между деформациями и перемещениями: выделение движения тела как твердого целого. Выражения для деформаций не содержат такого движения, однако оно фигурирует в перемещениях. Следовательно, при определении деформаций путем дифференцирования перемещений из искомых соотношений исключается движение тела как твердого целого. Например, для линейного элемента горизонтальное смещение точки может быть задано выражением (рис. 4.6) и=а1-агХ, из которого следует, что Zx=du/dx=a2.

По определению, относительная деформация (отношение приращения длины к начальной длине) e. равна {АВ-АВ)/АВ или при AB=dx

AB = {l+Bx)dx. (4.6b)

Возводя (4.6b) в квадрат, приравняв полученное выражение к (4.6а) и поделив на {dxY, получим

Следовательно, член Ui, который был исключен в результате дифференцирования, и соответствует движению элемента как твердого тела. Указанный факт говорит о том, что если конечно-элементная модель строится на основе задаваемых априори функций перемещений, то количество независимых параметров, с помощью которых описывается деформированное состояние в элементе, меньше количества параметров, задающих перемещения, на число степеней свободы элемента как твердого тела.

Рис. 4.6. (а) Недеформированное состояние; (Ь) смещенное деформированное состояние.

Другое обстоятельство, тесно связанное с основными приведенными выше соотношениями, но в некотором смысле противоположное по предпосылкам, относится к деформациям. В плоском случае три уравнения (уравнения (4.7а, Ь, с)), определяющие три компоненты деформации, выражаются через две компоненты перемещений. В трехмерных задачах существуют шесть компонент деформации и три компоненты перемещения. Следовательно, нив одном из этих случаев эти уравнения не имеют единственного решения, если деформации заданы произвольным образом. Необходимые дополнительные уравнения можно вывести из условия совместности, которое требует, чтобы компоненты перемещения были однозначными непрерывными функциями.

Условие совместности получим наиболее элементарным способом, последовательно дифференцируя соответствующие выражения. Для плоской задачи теории упругости последовательно продифференцируем Уху по л; и по у:

д Ух ди , 3 dv д&- дЧ

дх ду

.ff+

дх ду ду дх ду дх

(4.8)

Последнее выражение получается с учетом того, что, в силу однозначности и непрерывности, д/дхду=д/дудх. Обобщение этого условия на трехмерный случай приводит к системг из шесги уравнений.

Так же как и при обозначении характеристик напряженного состояния, следует различать поля перемещений во внутренних точках тела и поля перемещений в граничных (на поверхности тела) точках. Поле перемещений внутри тела обозначим через Л. Этот символ относится к совокупности смещений вдоль осей координат и, V, W. Смещения на границе обозначим через и и отнесем к совокупности величин и, V, W для граничных точек. Таким образом,

\= \ uvw \ (внутри тела), и= [ uvw \ (на поверхности).

Кро.ме того, в трехмерной задаче введем для деформаций следующее обозначение:

8= L Еу е, v., Vyz yzx J

Граничные условия на перемещения (кинематические граничные условия) попросту требуют совпадения перемещений на поверхности

упругого тела и с заданными перемещениями и, т. е.

U-и=0. (4.9)

4.4. Уравнения состояния материала

Обычно уравнения состояния для материала, которые в настоящем рассмотрении относятся только к механическим характеристикам материала, задают путем постулирования полного набора коэффициентов, связывающих каждую компоненту напряжения со всеми компонентами деформации. Далее, из соображения симметрии и учета анизотропных свойств материала число коэффициентов уменьшают таким образо.м, чтобы они отвечали соответствующим механическихМ характеристикам среды, например наличию в ней ортотропной плоской деформации. Ниже, чтобы отчетливо показать физическую природу этих свойств и осветить результаты эксперимента, будем двигаться в обратном направлении: от наиболее простых аспектов поведения материала к более сложным.

Простейшие механические свойства материала можно выяснить из испытаний образца на одноосное растяжение. Линейный участок на диаграмме напряжение - деформация представляется алгебраически законом Гука: OxEe или zojE. Это выражение дает зависимость деформации от напряжения. Если существует механизм, приводящий к появлению дефорхмаций без приложения нагрузок, т. е. начальная деформация е/ , то

е. = - + еГ или а = Ев.,-Ег . (4.10)

Для построения зависимостей в двумерном случае рассмотрим сначала изотропный материал и выясним, как он ведет себя при