2Е

4 Н--2 5

10 + 11

2(1-л) 12-

2(l-ji)

Очевидно, представленное поле перемещений не отвечает точному решению задачи упругости при произвольном выборе констант а,-. Однако при 5=10=0 решение можно представить в виде указанного поля, если

4- 4 12 и 11- Ug.

Эти условия все же не дают гарантии того, что данные поля перемещений являются соответствующим решением задачи. Для ы и у должны быть выполнены граничные условия на перемещения, а поле напряжений, выраженное через и и v (полученное путем дифференцирования этих компонент, согласно связи деформаций с перемещениями и подстановки в зависимость напряжений), должно удовлетворять граничным условиям для напряжений.

Перейдем к формулировке определяющих соотношений, соответствующих условию совместности. Основным дифференциальным уравнением совместности для плоского случая является уравнение (4.8). Подставляя в него определяющие выражения для деформаций через напряжения, согласно (4.11), получим

(Ох-о) + (а, -j.aj = 2 (l+j.) . (4.18)

В это соотношение входят три неизвестные величины {а, Оу, ху)-С помощью определенной в разд. 4.1 выражениями (4.6) функции Эри Ф преобразуем это уравнение таким образом, чтобы в него входила только одна неизвестная величина. Подставляя указанные выражения в (4.18), приходим к уравнению

V=VФ=V=0 (4.19)

Рассмотрим, например, квадратичные поля перемещений в плоском случае

и = а+ах + ау + ах + а,у + а,ху, v = a, + agX + а,у + а х + ау + а.ху,

гдеаь Qa, , 12- константы. После подстановки в (4.17) получим

4.6. Заключительные замечания

Представленная в разд. 4.5 теорема единственности в теории упругости формально утверждает, что если вместе с объемными силами заданы либо поверхностные силы, либо перемещения на поверхности тела, то в теле существует только одно поле напряжений, или перемещений. Решение, удовлетворяющее всем условиям равновесия и совместности внутри тела и на его границе, единственно.

Для того чтобы эти условия выполнялись, зависимость деформаций от напряжений должна соответствовать линейно-упругому телу; условия равновесия записываются без учета деформаций, и проводимые рассмотрения ограничиваются рамками теории малых деформаций. В гл. 13, например, изучаются вопросы упругой неустойчивости, которая характеризуется наличием смежных и, следовательно, неединственных форм равновесия. Эти формы выявляются при учете влияния деформации на условия равновесия.

Знание теоремы единственности важно исследователю, использующему метод конечных элементов. Если бы конечно-элементная модель отвечала всем условиям равновесия и совместности, то точное решение было бы найдено и никакое дальнейшее измельчение сетки не привело бы к улучшению ответа. Однако все исследователи, конечно, допускают, что для процедуры численного решения, на какой бы основе она ни строилась - представление в рядах, конечно-разностная, конечно-элементная - измельчение сетки приводит к улучшению решения. Это обстоятельство ясно показывает, что для любого доступного численного метода полученное с его помощью точное решение не будет удовлетворять либо всем, либо какому-то основному условию.

Метод конечных элементов не обладает по сравнению с другими численными методами особыми недостатками, так как для него не выполняется лишь одно из условий равновесия или совместности. Действительно, будет показано, что при некоторых конечно-

Оператор - лапласиан или гармонический оператор, а уравнение (4.19) - бигармоническое уравнение.

Рассуждения, касающиеся условий выбора полей перемещений, которые удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия, в той же мере применимы и в данно.м случае. Функция напряжений по определению удовлетворяет уравнениям равновесия. Однако выражения, выбранные в качестве функции напряжений, вполне могут не удовлетворять уравнению (4.19), которое задает условие совместности. В этом случае выбранные выражения будут лишь приближением к точному решению задачи. Точное же решение должно удовлетворять как граничным условиям, так и уравнению (4.19).

элементных подходах все неприятности можно свести только к одной: к отсутствию выполнения условий равновесия, в то время как все условия непрерывности для перемещений окажутся выполненными. Для этих подходов можно доказать, что получаемые численные решения обладают таким свойством, как монотонная сходимость, и характеризуются тем, что некоторые параметры решения, например энергия деформации или коэффициенты влияния, находятся по одну сторону от точных значений. Знание этих предельных значений может оказать неоценимую услугу при оценке точности решения.

Литература

4.1. Timoshenko S., Goodier J. Theory of Elasticity. 2nd ed.-New York, N. Y.: McGraw-Hill Book Co., 1951. [Имеется перевод: Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости.-М.: Наука, 1979, 560 с]

4.2. Wang С. Т. Applied Elasticity.-New York, N. Y.: McGraw-Hill Book Co., 1953.

4.3. Oden J. T. Mechanics of Elastic Structures.-New York, N. Y.: McGraw-Hill Book Co., 1967.

4.4. Volterra E., Gaines J. Advanced Strength of Materials.-Englewood Cliffs, N. J.: Prentice-Hall, Inc., 1971.

4.5. Sokolnikoff I. S. Mathematical Theory of Elasticity, 2nd ed.-New York, N. Y.: McGraw-Hill Book Co., 1956.

4.6. Green A., Zerna W. Theoretical Elasticity, 2nd ed.-New York, N. Y.: Oxford University Press, 1968.

4.7. Новожилов В. В. Теория упругости.- Л.: Судпромгиз, 1958.

4.8 Anonymous. Structura Design Guide for Advanced Composite Applications. 2nd ed., U. S. Air Force Materials Laboratory, Wright Patterson AFB, Ohio, 1969.

Задачи

4.1. Удовлетворяют ли следующие распределения напряжений условиям равновесия (объемные силы равны нулю)? Схематически укажите напряженное состоя-

Рис. Р4.1.

ние на границе, согласующееся с этими функциями, для элемента, изображенного на рис. Р4.1.