Тел. ОАО «Охрана Прогресс»
Установка Видеонаблюдения, Охранной и Пожарной сигнализации.
Звоните! Приедем быстро! Установим качественно! + гарантия 5 лет.
 
Установка технических средств охраны.
Тел. . Звоните!

Главная  Проектирование конструкций 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36  37  38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

Задачи

4.2. Ниже в полярных координатах приводятся уравнения равновесия и соотношения, связывающие деформации и перемещения при плоском напряженном состоянии. Уравнения состояния идентичны соотношениям, записанным в прямо-

Рис. Р4.2.


угольной системе координат. Выпишите определяющие дифференциальные уравнения равновесия с учетом тепловой деформации.

ди дг

и , I dv

дОг . 1 дтгв

Ог - Ов

= 0,

1 ди .dv V

УгО-у 3Q+Tr~T

4.3. Сформулируйте линейные дифференциальные уравнения равновесия для трехмерной задачи теории упругости, учитывая сначала зависимость напряжения от трех координат, а затем исключив члены более высокого порядка малости.

4.4. Используйте приведенную ниже функцию перемещений для построения матрицы жесткости, соответствующей изображенному на рис. Р4.4 элементу в форме

Рис. Р4.4.


параллелограмма. Проверьте, удовлетворяет ли эта функция: (а) условиям равновесия внутри элемента, (Ь) условиям равновесия на границе элемента, (с) условиям непрерывности между элементами.

и = а1Х-\-а2у+аз(ху- y+Ot, u = af,x-\-aey + a, (ху--у+а.

4.5. Постройте матрицу связи напряжений с дефориациями [Е] для плоской деформации ортотропного материала. В итоге она должна связывать а= L ху J l.xyyxy J Вэтом случае Тд.2=т2=Ог=0. Упругие модули суть £.,£j Gy. коэффициент Пуассона, отвечающий деформации, направленной вдоль оси у, вызванной напряжением в направлении оси х, равен и т. д.

4.6. Проверьте, выполняются ли для элемента, изображенного на рис. P4.J, и для приводимого ниже поля перемещений уравнения равновесия. Что значит



с физической точки зрения, что эта функция не удовлетворяет условиям равновесия?

и = AiUi + iVjUj + n3u3 + niui,

/V, = (1 -хЫ (1 - t!y), /V2 = (xlx) (1 -у1уз),

N3(X/X2) (У/Уз), Л4=(1-(у/Уз).

4.7. Смещения на границе элемента, изображенного ниже, описываются с помощью функций

(2s-a)(s-a) 4s (g-s) s (2s-a)

Определите нормальные и тангенциальные усилия Т и 7 соответствующие этим перемещениям.


Рис. Р4.7.

4.8. Пусть Of, Фа и Фд - трехмерные функции напряжений, определяемые следующим образом:

-дудх- ° -дгдх дхду

дудх

1 д /дФг дФ дФз\

2 дг \ дх ду

\ д ( дФ-, . аФа дФз\

*~ 2 дх\ дх ду дг )

} д (дФг ЭФа дФз\

2 ду \ дх д,/ дг )

Докажите, что они удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия и выведите соответствующие им уравнения совместности.



ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ

Начиная сданной главы, приступим к выводу соотношений между силами и перемещениями для элементов. При этом рассмотрим два подхода: прямой метод и метод взвешенных невязок.

В прямом методе построение соотношений для элемента осуществляется непосредственно с помощью учета приведенных в предыдущей главе трех систем уравнений теории упругости; уравнений равновесия, соотношений между перемещениями и деформациями, а также уравнений состояния. Этот метод особенно полезен при выяснении фундаментальных соотношений между конечно-элементной аппроксимшщей и реальной конструкцией. Так, этим методом будет проведено теоретическое обоснование построений, проведенных в разд. 2.2 и 2.3. Прямому методу присущи черты, свойственные и другим подходам к построению конечно-элементной модели. Особенно это затрагивает вопросы задания сил, если известны напряжения, и деформаций, если известны перемещения. Этот подход включает основные положения, использованные на ранней стадии развития метода конечных элементов [см. 5.1, 5.2]. Однако область применения прямого метода ограничена: его трудно или даже невозможно применять при выводе соотношений для усложненных элементов и в некоторых специальных задачах.

В свою очередь область применения метода взвешенных невязок [5.3] практически неограниченна, и, как оказалось, он обладает достоинствами, отсутствующими у альтернативных подходов. Один из вариантов этого подхода приводит к формулировке, идентичной той, к которой приходим при применении описанных в гл. 6 вариационных принципов. Для некоторых классов нелинейных задач методом взвешенных невязок можно вывести соотношения, которые нельзя получить с помощью классических вариационных принципов [см. 5.4, 5.5]. Кроме того, этот подход помогает уяснить физические основы таких вариационных принципов, как экстремальные принципы для потенциальной и дополнительной энергий.




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36  37  38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139



Установим охранное оборудование.
Тел. . Звоните!