В данной главе соотношения, определяющие поведение конструкции, используются в основном для построения матрицы жесткости элементов с использованием полей перемещений. Однако описываемые ниже методы применимы для построения соотношений не только данного типа, но справедливы при выводе любого типа соотношений для элемента, если заданы поля перемещений и (или) напряжений, и в действительности используются также в разнообразных физических задачах, не связанных с расчетом конструкций. В этой главе приводится небольшое число простых примеров, иллюстрирующих последнее утверждение.

5.1. Прямой метод

Прямой метод построения уравнений жесткости состоит из следующих шагов.

1. Поле перемещений элемента Л выражается в терминах конечного числа параметров {а}. Желательно, чтобы ими были степени свободы в узлах {А}. Если выбраны параметры {а}, не имеющие физического смысла, то необходимо задать преобразования, связывающие указанные параметры с и.меющими физический смысл степенями свободы {А}.

2. Поле деформаций е выражается в терминах степеней свободы {А} посредством дифференцирования поля перемещений согласно соотношениям, связывающим деформации с перемещениями (4.7).

3. С учетом уравнений состояния (4.15) устанавливается связь между полем напряжений о и степенями свободы {А}.

4. С помощью определения усилий, статически эквивалентных напряжениям, действующим на границе элемента, выводятся выражения для сил в узлах элемента {F } в зависимости от вида поля напряжений о. Так как поле напряжений а выражено в терминах {А} (шаг 3), то на данном шаге можно связать {F } и {А}. Результирующие соотношения являются, по определению, уравнениями жесткости элемента.

Чтобы проиллюстрировать изложенную выше процедуру, построим матрицы жесткости для трех простых элементов: стержневого, балочного, треугольного плоско-напряженного.

Рассмотрим сначала стержневой элемент (см. рис. 2.7). Выразим поле перемещений А = и через обобщенные перемещения {а}. Очевидно, что две степени свободы, отвечающие перемещениям в точках 1 и 2, определяют деформированное состояние этого элемента. Поэтому выберем в совокупности {а} два параметра, иными словами

{a}=Laia2j. (5.1)

Для описания одномерного распределения и между концевыми точками выберем полиномиальное представление. Это представление

совместимо с аналогичным представлением для большинства двумерных и трехмерных элементов, так как входящие в полином общего вида переменные х, у и z обеспечивают хорошую аппроксимацию для элементов любой формы. Дополнительные вопросы, касающиеся теоретического обоснования выбора вида полинома, рассматриваются в гл. 8. В нашем же случае, имея два параметра, логично выбрать линейный полином по х, т. е.

= а, + ах = L 1 J

(5.2)

Для общего случая можем использовать следующую символическую запись:

Л = [р1 {а}. (5.2а)

Принятая в (5.2а) символическая запись нуждается в пояснении. В разд. 4.3 было указано, что перемещение узла, обозначенное через А, может иметь до трех компонент, а именно и,ияы>. Следовательно, можно независимо для каждой компоненты задать полиномиальное представление. В этом случае [р] - прямоугольная матрица, имеющая три строки. Если, например, перемещение в трехмерном случае задано в виде

и=ах-\-агХ, v=as-\-a4i, w=a-\-az, то будем иметь

1 л; о о о о п О О 1 г/ О О О О О О 1 г

Рассматривая вновь стержневой элемент, определим, согласно рекомендациям шага 1, преобразования, связывающие параметры представления с физическими степенями свободы i и Uj. Это можно осуществить, выписывая (5.2) в точках д:=0 и x=L. Имеем

1 О

1 L

что в общем виде символически запишется в виде

{Л}=[В]{а}. Обращая матрицу [В], получим

или в общем виде

L О - 1 1

{а}=1В]-ЧА}.

(5.3)

(5.3а)

(5.4) (5.4а)

Подставляя это соотношение в (5.2), находим

=L(.-i)xj{::}=L...j{::}, (.з,

или в символической записи

А = [р] [B]-i{A}=[N] {А}, (5.5а)

где [1-(a;/L)] = Ai и x/LNi называются функциями формы поля перемещений.

Выполняя операции на шаге 2 (введение соотношений между деформациями и перемещениями), имеем е=8-е=и, где штрихом обозначена производная величины и по х. Операции на этом шаге можно выполнить двумя способами. В первом случае можно продифференцировать соотношения (5.2) и использовать выражения (5.4) для вывода искомых соотношений. Таким образом.

= L01J

(5.6)

в общем виде символически запишется в виде

е=[С] {а}, (5.6а)

и подставляя в полученное выражение формулы (5.4), приходим к соотношению

e = = -L01 J

Можно непосредственно продифференцировать соотношения (5.5). Имеем

JL J

L L

e = u =

(5.6b)

e=[D] {A}.

(5.6c)

Можно заметить, что из уравнения (5.6) параметр Ui по существу исключен, и это уравнение можно записать в виде и=аг. Сокращенная форма записи обусловлена тем, что, как показано в разд. 4.3, дифференцирование перемещений с целью получения деформаций приводит к исключению членов, отвечающих движению тела как твердого целого. В данном случае такому движению соответствует член ах. В более общем случае параметры, отвечающие движению тела как твердого целого, обозначены через {а}, а остальные параметры- через {а/}. Тогда сокращенная форма соотношения, связывающего перемещения и деформации для общего случая, имеет вид

е=[С/] {а}. (5.6d)