Тел. ОАО «Охрана Прогресс»
Установка Видеонаблюдения, Охранной и Пожарной сигнализации.
Звоните! Приедем быстро! Установим качественно! + гарантия 5 лет.
 
Установка технических средств охраны.
Тел. . Звоните!

Главная  Проектирование конструкций 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37  38  39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

В данной главе соотношения, определяющие поведение конструкции, используются в основном для построения матрицы жесткости элементов с использованием полей перемещений. Однако описываемые ниже методы применимы для построения соотношений не только данного типа, но справедливы при выводе любого типа соотношений для элемента, если заданы поля перемещений и (или) напряжений, и в действительности используются также в разнообразных физических задачах, не связанных с расчетом конструкций. В этой главе приводится небольшое число простых примеров, иллюстрирующих последнее утверждение.

5.1. Прямой метод

Прямой метод построения уравнений жесткости состоит из следующих шагов.

1. Поле перемещений элемента Л выражается в терминах конечного числа параметров {а}. Желательно, чтобы ими были степени свободы в узлах {А}. Если выбраны параметры {а}, не имеющие физического смысла, то необходимо задать преобразования, связывающие указанные параметры с и.меющими физический смысл степенями свободы {А}.

2. Поле деформаций е выражается в терминах степеней свободы {А} посредством дифференцирования поля перемещений согласно соотношениям, связывающим деформации с перемещениями (4.7).

3. С учетом уравнений состояния (4.15) устанавливается связь между полем напряжений о и степенями свободы {А}.

4. С помощью определения усилий, статически эквивалентных напряжениям, действующим на границе элемента, выводятся выражения для сил в узлах элемента {F } в зависимости от вида поля напряжений о. Так как поле напряжений а выражено в терминах {А} (шаг 3), то на данном шаге можно связать {F } и {А}. Результирующие соотношения являются, по определению, уравнениями жесткости элемента.

Чтобы проиллюстрировать изложенную выше процедуру, построим матрицы жесткости для трех простых элементов: стержневого, балочного, треугольного плоско-напряженного.

Рассмотрим сначала стержневой элемент (см. рис. 2.7). Выразим поле перемещений А = и через обобщенные перемещения {а}. Очевидно, что две степени свободы, отвечающие перемещениям в точках 1 и 2, определяют деформированное состояние этого элемента. Поэтому выберем в совокупности {а} два параметра, иными словами

{a}=Laia2j. (5.1)

Для описания одномерного распределения и между концевыми точками выберем полиномиальное представление. Это представление



совместимо с аналогичным представлением для большинства двумерных и трехмерных элементов, так как входящие в полином общего вида переменные х, у и z обеспечивают хорошую аппроксимацию для элементов любой формы. Дополнительные вопросы, касающиеся теоретического обоснования выбора вида полинома, рассматриваются в гл. 8. В нашем же случае, имея два параметра, логично выбрать линейный полином по х, т. е.

= а, + ах = L 1 J

(5.2)

Для общего случая можем использовать следующую символическую запись:

Л = [р1 {а}. (5.2а)

Принятая в (5.2а) символическая запись нуждается в пояснении. В разд. 4.3 было указано, что перемещение узла, обозначенное через А, может иметь до трех компонент, а именно и,ияы>. Следовательно, можно независимо для каждой компоненты задать полиномиальное представление. В этом случае [р] - прямоугольная матрица, имеющая три строки. Если, например, перемещение в трехмерном случае задано в виде

и=ах-\-агХ, v=as-\-a4i, w=a-\-az, то будем иметь

1 л; о о о о п О О 1 г/ О О О О О О 1 г

Рассматривая вновь стержневой элемент, определим, согласно рекомендациям шага 1, преобразования, связывающие параметры представления с физическими степенями свободы i и Uj. Это можно осуществить, выписывая (5.2) в точках д:=0 и x=L. Имеем

1 О

1 L

что в общем виде символически запишется в виде

{Л}=[В]{а}. Обращая матрицу [В], получим

или в общем виде

L О - 1 1

{а}=1В]-ЧА}.

(5.3)

(5.3а)

(5.4) (5.4а)



Подставляя это соотношение в (5.2), находим

=L(.-i)xj{::}=L...j{::}, (.з,

или в символической записи

А = [р] [B]-i{A}=[N] {А}, (5.5а)

где [1-(a;/L)] = Ai и x/LNi называются функциями формы поля перемещений.

Выполняя операции на шаге 2 (введение соотношений между деформациями и перемещениями), имеем е=8-е=и, где штрихом обозначена производная величины и по х. Операции на этом шаге можно выполнить двумя способами. В первом случае можно продифференцировать соотношения (5.2) и использовать выражения (5.4) для вывода искомых соотношений. Таким образом.

= L01J

(5.6)

в общем виде символически запишется в виде

е=[С] {а}, (5.6а)

и подставляя в полученное выражение формулы (5.4), приходим к соотношению

e = = -L01 J

L 0

1 1

-1 1

1 L L \

Можно непосредственно продифференцировать соотношения (5.5). Имеем

JL J

L L

e = u =

(5.6b)

e=[D] {A}.

(5.6c)

Можно заметить, что из уравнения (5.6) параметр Ui по существу исключен, и это уравнение можно записать в виде и=аг. Сокращенная форма записи обусловлена тем, что, как показано в разд. 4.3, дифференцирование перемещений с целью получения деформаций приводит к исключению членов, отвечающих движению тела как твердого целого. В данном случае такому движению соответствует член ах. В более общем случае параметры, отвечающие движению тела как твердого целого, обозначены через {а}, а остальные параметры- через {а/}. Тогда сокращенная форма соотношения, связывающего перемещения и деформации для общего случая, имеет вид

е=[С/] {а}. (5.6d)




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37  38  39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139



Установим охранное оборудование.
Тел. . Звоните!