Тел. ОАО «Охрана Прогресс»
Установка Видеонаблюдения, Охранной и Пожарной сигнализации.
Звоните! Приедем быстро! Установим качественно! + гарантия 5 лет.
 
Установка технических средств охраны.
Тел. . Звоните!

Главная  Проектирование конструкций 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38  39  40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

Выполняя операции шага 3 (введение соотношений между напряжениями и деформациями) для стержневого элемента, находим, что [Е]=£ и а=ах, и с учетом (5.6b)) приходим к соотношению

Ох = Е

J ы

(5.7)

или символически

а=[Е] [D] {Л}=[5] {Д}, (5.7а)

где [S]=[E] [D] - одно из представлений матрицы жесткости элемента.

Напомним, что понятие матрицы напряжений элемента было введено в (3.9) с помощью равенства {о}=[5] [Л}, которое позволяет оценивать напряжения в заданных точках. Например, для стержневого элемента {о}= а, о, Jесли напряжения вычисляются в концевых точках. Таким образом, символ [S] используется для обозначения преобразования вектора перемещения {А} в распределенные напряжения о, и символ IS] - для обозначения преобразования (А} в вектор напряжений (о},определенный в заданных точках. Соотношение для элемента {о}=[5] {А} можно использовать вместо (5.7а). В этом виде выражение для напряжения используется далее при построении изгибаемого элемента.

Выполняя операции завершающего шага, т. е. преобразуя напряжения в узловые силы, заметим, что эти силы задаются в виде {F }= L 1 2 J каждая компонента силы определяется умножением соответствующей компоненты напряжения на площадь поперечного сечения элемента А. Имеем (Fi действует в направлении, противоположном положительным Ох)

{F}=[A] {о};

подставляя

(5.7), получаем

= АЕ

1 1

- 1 -Г

L L

-1 1

(5.8) (5.8а)

(5.9)

Находим, что уравнения жесткости элемента записываются в виде {F}=[k] {А}, где

(к] = [А] [В] (D]. (5.10)

Итак, установлено, что матрица жесткости строится при помощи перемножения следующих трех матриц: [D] - матрицы преобразования перемеиний для соответствующих степеней свободы в деформации; [Е ] - матрицы жесткости упругого материала; [А] - матрицы преобразований напряжений в узловые силы.

5 № 2547



Матрицу Id] можно разбить на элементарные составляющие. В случае когда поле перемещений записывается в терминах обобщенных степеней свободы, из (5.4а) и (5.6а) имеем

[d] = [c] [в]-. (5.11)

Два обстоятельства следует отметить в предшествующих рассмотрениях. Во-первых, до сих пор не рассматривался какой-либо конкретный вид условий равновесия внутри элемента. Известно, разумеется, что напряжения в этом элементе постоянны, и после проверки, согласно (5.7), убеждаемся, что выбранное поле перемещений отвечает этому условию. В общем случае напряженное состояние, соответствующее предполагаемому полю перемещений, не удовлетворяет условиям равновесия. Это обстоятельство тем не менее не влияет на возможности построения матрицы жесткости указанным выше способом. Во-вторых, ввиду непрерывности выбираемых функций перемещения непрерывны внутри элемента и при переходе через границу от одного элемента к соседнему с ним элементу. Это обусловлено тем, что взаимодействие двух одномерных элементов происходит только в узловых точках. Однако в общем случае для двух- и трехмерных элементов взаимодействие между элементами происходит не только в узлах, поэтому поля перемещений для элемента должны выбираться с учетом обеспечения свойств непрерывности полей перемещений на границах соседних элементов. Это обстоятельство обсуждалось в разд. 2.2 и вновь рассматривается в разд. 5.2. Так как настоящее представление отвечает всем условиям равновесия и непрерывности перемещений, то оно задает точное представление матрицы жесткости элемента.

Внутренние моменты

1 1-

Рис. 5.1. Балочный элемент.

Во многих случаях при расчетах прикладываемые нагрузки распределены в виде непрерывной функции от х. В излагаемом подходе предполагается, что распределенные нагрузки заменены ста-



тически эквивалентными им узловыми силами. Более элегантный способ учета этой ситуации приведен в гл. 6.

Рассмотрим далее балочный элемент, изображенный на рис. 5.1. Основные моменты исследования схожи при этом со случаем стержневого элемента, однако следует отметить одну важную отличительную особенность, а именно вид задаваемых степеней свободы в узле соединения. Кроме того, поле деформаций неоднородно внутри элемента. Согласно теории изгиба балок, не учитывающей поперечные сдвиговые деформации, в концевых точках необходимо определять не только поперечные смещения (Wj и w), но и угловые смещения (6i и 62). Последние равны отрицательному значению тангенса угла наклона нейтральной оси, так как вращение в положительном направлении (по часовой стрелке) вызывает отрицательные поперечные смещения. Имеем

dw I

dx \x=L

Таким образом,

(5,12)

Как и в случае стержневого элемента, для описания поля перемещений Л, определяемого в рассматриваемом случае величиной w, выберем полином. Имеются четыре степени свободы, и поэтому для аппроксимации прогиба, если не опускать низшие степени в полиномиальном представлении, нужно выбрать кубический полином, содержащий четыре члена:

wa-iX+aiX+ax+ui. Определяя w и -dwidx в точках 1 и 2, имеем

0

<

(5.13)

причем обратное соотношение имеет вид

2

-L 1

После подстановки в (5.13) получим

=LN J{A}.

(5.14)




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38  39  40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139



Установим охранное оборудование.
Тел. . Звоните!