Выполняя операции шага 3 (введение соотношений между напряжениями и деформациями) для стержневого элемента, находим, что [Е]=£ и а=ах, и с учетом (5.6b)) приходим к соотношению

Ох = Е

J ы

(5.7)

или символически

а=[Е] [D] {Л}=[5] {Д}, (5.7а)

где [S]=[E] [D] - одно из представлений матрицы жесткости элемента.

Напомним, что понятие матрицы напряжений элемента было введено в (3.9) с помощью равенства {о}=[5] [Л}, которое позволяет оценивать напряжения в заданных точках. Например, для стержневого элемента {о}= а, о, Jесли напряжения вычисляются в концевых точках. Таким образом, символ [S] используется для обозначения преобразования вектора перемещения {А} в распределенные напряжения о, и символ IS] - для обозначения преобразования (А} в вектор напряжений (о},определенный в заданных точках. Соотношение для элемента {о}=[5] {А} можно использовать вместо (5.7а). В этом виде выражение для напряжения используется далее при построении изгибаемого элемента.

Выполняя операции завершающего шага, т. е. преобразуя напряжения в узловые силы, заметим, что эти силы задаются в виде {F }= L 1 2 J каждая компонента силы определяется умножением соответствующей компоненты напряжения на площадь поперечного сечения элемента А. Имеем (Fi действует в направлении, противоположном положительным Ох)

{F}=[A] {о};

подставляя

(5.7), получаем

= АЕ

(5.8) (5.8а)

(5.9)

Находим, что уравнения жесткости элемента записываются в виде {F}=[k] {А}, где

(к] = [А] [В] (D]. (5.10)

Итак, установлено, что матрица жесткости строится при помощи перемножения следующих трех матриц: [D] - матрицы преобразования перемеиний для соответствующих степеней свободы в деформации; [Е ] - матрицы жесткости упругого материала; [А] - матрицы преобразований напряжений в узловые силы.

5 № 2547

Матрицу Id] можно разбить на элементарные составляющие. В случае когда поле перемещений записывается в терминах обобщенных степеней свободы, из (5.4а) и (5.6а) имеем

[d] = [c] [в]-. (5.11)

Два обстоятельства следует отметить в предшествующих рассмотрениях. Во-первых, до сих пор не рассматривался какой-либо конкретный вид условий равновесия внутри элемента. Известно, разумеется, что напряжения в этом элементе постоянны, и после проверки, согласно (5.7), убеждаемся, что выбранное поле перемещений отвечает этому условию. В общем случае напряженное состояние, соответствующее предполагаемому полю перемещений, не удовлетворяет условиям равновесия. Это обстоятельство тем не менее не влияет на возможности построения матрицы жесткости указанным выше способом. Во-вторых, ввиду непрерывности выбираемых функций перемещения непрерывны внутри элемента и при переходе через границу от одного элемента к соседнему с ним элементу. Это обусловлено тем, что взаимодействие двух одномерных элементов происходит только в узловых точках. Однако в общем случае для двух- и трехмерных элементов взаимодействие между элементами происходит не только в узлах, поэтому поля перемещений для элемента должны выбираться с учетом обеспечения свойств непрерывности полей перемещений на границах соседних элементов. Это обстоятельство обсуждалось в разд. 2.2 и вновь рассматривается в разд. 5.2. Так как настоящее представление отвечает всем условиям равновесия и непрерывности перемещений, то оно задает точное представление матрицы жесткости элемента.

Внутренние моменты

Рис. 5.1. Балочный элемент.

Во многих случаях при расчетах прикладываемые нагрузки распределены в виде непрерывной функции от х. В излагаемом подходе предполагается, что распределенные нагрузки заменены ста-

тически эквивалентными им узловыми силами. Более элегантный способ учета этой ситуации приведен в гл. 6.

Рассмотрим далее балочный элемент, изображенный на рис. 5.1. Основные моменты исследования схожи при этом со случаем стержневого элемента, однако следует отметить одну важную отличительную особенность, а именно вид задаваемых степеней свободы в узле соединения. Кроме того, поле деформаций неоднородно внутри элемента. Согласно теории изгиба балок, не учитывающей поперечные сдвиговые деформации, в концевых точках необходимо определять не только поперечные смещения (Wj и w), но и угловые смещения (6i и 62). Последние равны отрицательному значению тангенса угла наклона нейтральной оси, так как вращение в положительном направлении (по часовой стрелке) вызывает отрицательные поперечные смещения. Имеем

dw I

dx \x=L

Таким образом,

(5,12)

Как и в случае стержневого элемента, для описания поля перемещений Л, определяемого в рассматриваемом случае величиной w, выберем полином. Имеются четыре степени свободы, и поэтому для аппроксимации прогиба, если не опускать низшие степени в полиномиальном представлении, нужно выбрать кубический полином, содержащий четыре члена:

wa-iX+aiX+ax+ui. Определяя w и -dwidx в точках 1 и 2, имеем

(5.13)

причем обратное соотношение имеет вид

После подстановки в (5.13) получим

=LN J{A}.

(5.14)