[S] =

l 2 З l 2

~Уз Уз о 1*3-2 -[Xз УХг

- ЦУз \Уз О *з-2 -Ха Х2 .yiXa-г -ЪХз - Yi% ЪУа О

Yj = (1-ц)/2, хз. = хз-х\

(1-ц2) х.у

{a\=[S] {ду, где аУ=1 о; ОуХуЛ \) определено согласно (5.19).

Рис. 5.5. Матрица жесткости для плоско-напряженного изотропного элемента с постоянным напряжением внутри элемента.

Из ЭТИХ соотношений непосредственно видно, что каждая компонента напряжения зависит от всех узлов отдельного элемента. (Следовательно, для случая, изображенного на рис. 2.5(e), хотя как а\, так и On зависят от Uj, г, Vi и Уз, On является функцией от Ua и Уз, в то время как - функцией 4 и У4. Поэтому нормальные и тангенциальные усилия на границе (Т и Т), полученные на основе этих напряжений для рассматриваемых элементов, вообще говоря, не равны. Итак, условия равновесия на границе элементов не выполняются.

С другой стороны, условия непрерывности перемещений и и у на линиях, разделяющих элементы, выполняются. Поле перемещений линейно и перемещение вдоль границы элемента изменяется по линейному закону. Когда края элементов соединяются, то совмещение узлов 1 и 2 двух элементов обеспечивает непрерывность перемещений во всех точках, находящихся между узлами. Удовлетворить этому условию можно и другим способом, получая при помощи поля перемещений (5.21а) выражения для смещений краев элементов. Можно показать, что перемещения на каждой стороне элемента полностью определяются с помощью величин, заданных в граничных узлах рассматриваемой стороны. Общий подход к построению непрерывных полей перемещений основан на допущении того факта, что перемещение на линии, задающей границу элемента, должно быть однозначной функцией степени свободы, принадлежащей указанной линии. Случай, когда перемещения на границе элемента определяются неоднозначно, приведен на рис. 2.5(b).

ются. Поле напряжений а оказывается равновесным, несмотря на то что явных попыток удовлетворения условию равновесия не делалось.

Что можно сказать относительно выполнения условий равновесия для напряжений вдоль границы соседних элементов? На рис. 2.5(d) и (е) изображена линия, разделяющая два смежных элемента А н В. На рис. 5.5 представлена матрица жесткости треугольного элемента, построенная, согласно (5.7а), в результате объединения соотношений между напряжениями о и узловыми перемещениями {Л}.

5.3. Ограничения в прямом методе 139

Таким образом, для простого треугольного элемента в плоском напряженном состоянии внутри элемента выполняются и условие равновесия, и условие совместности, однако вдоль линий, разделяющих элементы, выполняется лишь условие непрерывности перемещений и и и. Условия равновесия нарушаются вдоль границ элемента, но равновесие граничных сил выполняется в среднем для узлов элемента. В результате измельчения сетки треугольных элементов можно добиться уменьшения ошибки, вызванной невозможностью удовлетворить условиям равновесия в каждой точке конструкции.

В разд. 2.3 было указано, что часто бывает полезно задать массив коэффициентов жесткости в безразмерной форме. Как видно из рис. 5.4, каждый член матрицы жесткости треугольного элемента содержит произведение (либо квадратичную функцию) линейных размеров элемента, а константа, на которую умножается матрица,- такое же произведение (х2Уз) в знаменателе. Следовательно, внося указанную константу в матрицу, получим набор безразмерных коэффициентов жесткости, причем каждый отдельный коэффициент включает отношения размеров элемента, например г/з/ха.

5.3. Ограничения в прямом методе

Понятие матрицы жесткости элемента введено в разд. 2.3 аксиоматически и без указания методики отыскания ее коэффициентов. При тех же условиях в разд. 2.5 было показано, что матрица должна обладать свойством симметрии. Однако из определяющего уравнения прямого метода (5.10) непосредственно не следует, что сформированная матрица симметрична. Центральная матрица тройного произведения А] [Е] [D], т. е. матрица упругости [Е], согласно присущим ей внутренним свойствам, симметрична. С другой стороны, матрицы [А] и [Dl строятся независимым образом и необязательно конгруэнтны. Конгруэнтное преобразование симметричной матрицы [El обеспечило бы симметричность результирующей матрицы.

Трудности при построении симметричной матрицы можно преодолеть, если добиться конгруэнтности путем замены в (5.10) матрицы [А] матрицей, транспонированной к матрице преобразования перемещений в деформации [D]. Тогда [k]=[D][E] [D]. Как показано в разд. 6.4, аналогичный результат получится, если использовать принцип минимума потенциальной энергии. [Процедуры слегка отличаются, если деформации зависят от пространственных координат. В прямом методе используется дискретное интегрирование (см. изгибаемый элемент), а энергетический подход включает интегрирование непрерывных функций.]

Другими словами, можно выбрать подход, где операции проводятся только с помощью матрицы преобразования напряжений

в силы [А]. В этом случае требуется обратить (5.10), т. е. оперировать с [f]=[D] tEl~ [А]~* (с должным учетом степеней свободы, отвечающих движению тела как твердого целого), где [D~] заменяется на [А]~. Полученный результат соответствует применению принципа минимума дополнительной энергии. Этот принцип обсуждается в разд. 6.6.

Вторая трудность возникает в прямом методе при выяснении степени гладкости перемещений на границе элементов, которая определяется выбранными функциями формы. Рассмотрим, например, построение плоско-напряженного элемента из предыдущего пункта. Если исходить из простых физических рассуждений, оказывается, что условия непрерывности при переходе от элемента к элементу полностью удовлетворяются, если непрерывны перемещения и и v. Необходимо ли добиваться непрерывности производных от перемещений du/dx, dv/dy и т. д., которые по существу определяют деформации? Требуется ли в случае плоского напряженного состояния непрерывность производных более высокого порядка? На эти вопросы нельзя ответить, опираясь на теоретическую базу прямого метода. Ответы на эти вопросы даются в гл. 6 с использованием вариационных методов.

Еще одна трудность возникает в прямом методе, если необходимо рассмотреть распределение нагрузки, начальные деформации или другие явления, такие, как нестационарные процессы или потеря устойчивости. Оказывается, что члены, отвечающие этим эффектам в прямом методе, можно учесть только простым распределением соответствующих величин по узлам. В последующих главах на базе вариационных принципов рассматривается более рациональный подход к построению членов, представляющих эти эффекты.

В заключение, как нам кажется, имеет смысл привести сводку введенных преобразований, которые будут использованы в последующих главах.

Преобразование обобщенных перемещений в поле перемещений

Л = [р1 (а). (5.2а)

Преобразование узловых перемещений в поле перемещений

A=[N]{A}. (5.5а)

Преобразование обобщенных перемещений в узловые перемещения

{Л}=[В]{а}. (5.3а)

Преобразование обобщенных перемещений в поле деформаций

е = [С]{аН (5.6а)

= [Суг]{а,} (степени свободы, отвечающие движению /с.

тела как твердого целого {а.} = 0). (Ь.оа)