Тел. ОАО «Охрана Прогресс»
Установка Видеонаблюдения, Охранной и Пожарной сигнализации.
Звоните! Приедем быстро! Установим качественно! + гарантия 5 лет.
 
Установка технических средств охраны.
Тел. . Звоните!

Главная  Проектирование конструкций 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42  43  44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

5.4. Прямой метод при решении физических задач 141

Преобразование узловых перемещений в поле деформаций

e=[D]{A}. (5.6с)

Преобразование узловых смещений в поле напряжений

o=[S] {Л}. (5.7а)

Преобразование узловых смещений в узловые напряжения

{а}=[5] {А}. (3.9)

Преобразование узловых напряжений в силы

{F}=[A1{0}. (5.8а)

5.4. Прямой метод при решении физических задач

С помощью прямого метода можно строить конечно-элементную модель физических процессов не менее успешно, чем при расчете упругого деформирования. Рассмотрим, например, одномерную задачу стационарной теплопроводности. Изучение этого процесса представляет практический интерес для проектировщиков, имеющих дело с задачами расчета термических напряжений, в которых весьма желательно иметь возможность единообразного подхода при расчете полей температуры и напряжений.

Рис. 5.6.


Рассматривается изображенный на рис. 5.6 изолированный стержень. Выделим одномерный элемент с площадью поперечного сечения А, длиной L и имеющий коэффициент теплопроводности и. Найдем соотношения между температурами (Гь Га) (°F) в точках 1 и 2 и значением теплового потока в этих точках (Ни Я а) (БТЕ).

В качестве определяющего соотношения выберем в данном случае закон теплопроводности Фурье

h-cTCIdx, (5.23)

где h - стационарный тепловой поток на единицу площади (БТЕ/ /фут ). Знак минус означает, что тепловой поток направлен в сторону уменьшения температуры. Согласно предьщущим построениям



ДЛЯ одномерного стержневого элемента, представим Г в виде

откуда

L j L

(5.24)

Полный тепловой поток в точке 1 равен Hi=hA, а в точке 2 Hi=hA (знак минус возникает из-за того, что положительное направление для Hi соответствует в этом узле тепловому потоку во внешнюю среду). Объединяя эти соотношения с соотношениями (5.23) и (5.24), находим, что

1 -1 -1 1

(5.25)

Набор коэффициентов в правой части уравнения называется матрицей теплопроводности элемента.

Кроме того, с помощью прямого метода можно построить матрицы теплопроводности для плоских треугольных элементов и других простых элементов. Аналогично можно построить соответствующие матрицы для конечных элементов в задачах фильтрации, электромагнетизма, расчета потенциального течения жидкости. Однако, как было замечено, чтобы использовать более сложные элементы и рассматривать более сложные физические аспекты перечисленных процессов, необходимо привлекать более тонкие теоретические концепции. Одна из таких концепций применяется в следующем разделе.

5.5. Метод взвешенных невязок

При использовании метода конечных элементов для решения задач, не связанных с механикой твердого деформируемого тела, требуется более общий подход к построению соотношений для элемента. Таким подходом является метод взвешенных невязок (МВН) [5.3]-В методе взвешенных невязок считается, что выбранная для аппроксимации независимой переменной в задаче математической физики пробная функция (т. е. рассматриваемые в разд. 5.1 и 5.2 полиномы), вообще говоря, не удовлетворяет соответствующим определяющим уравнениям. Так, подстановка пробной функции в определяющие дифференциальные уравнения приведет к невязке, обозначенной через R. Чтобы получить наилучшее решение, требуется минимизировать интеграл от невязок по области, рассматриваемой в задаче, т. е.

j R-d(yol):=mm.



Можно расширить возможности метода, вводя в подынтегральное выражение минимизируемого функционала взвешенные величины невязки. Введение весовых функций позволяет обратить в нуль интеграл от взвешенных невязок. Обозначая весовую функцию через ф, приходим к более общему соотношению

5 /?Ф(уо1) = 0. (5.26)

Таким образом, (5.26) представляет собой общее утверждение в методе взвешенных невязок.

Весовые функции можно выбирать различным образом и каждый конкретный выбор отвечает соответствующему критерию в МВН. Обратимся к методу Галеркина, так как этот метод приводит к таким же уравнениям, как и при использовании обычных энергетических или вариационных подходов [5.6-5.8].

Чтобы описать МВН, использующий критерий Галеркина, рассмотрим определяющее дифференциальное уравнение

S)(A) = 0, (5.27)

где S> - дифференциальный оператор, а Л - независимая переменная, которую нужно аппроксимировать с помощью А в виде (5.5), т. е. с помощью суммирования п функций формы Nt, помноженных на соответствующие степени свободы А(. Подставляя А в (5.27), получим невязку

R = S>(K)=Q. (5.28)

Согласно критерию Галеркина, функции формы Nf определяются как весовые функции. Поэтому для каждого i имеем

5 A/.(A)d(vol) = 0 (1=1.....п), (5.29)

что приводит к общему числу уравнений, равному п.

Уравнения (5.29) относятся к узлам внутри области и не учитывают граничных условий, например заданных внешних нагрузок или Перемещений. Чтобы учесть граничные условия, требуется проинтегрировать по частям интегралы (5.29), то приводит к появлению интегралов по области и границе.

Проиллюстрируем предлагаемый метод, применяя его сначала для построения уравнений жесткости стержневого элемента, обсуждавшегося ранее в этой главе, с добавлением распределенной нагрузки q согласно рис. 5.7. Требуется построить соотношения в терминах перемещений, где А=ы. Для этого случая определяющее дифференциальное уравнение получается подстановкой соотношений между напряжениями и перемещениями [ох=Е (duldx)] в




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42  43  44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139



Установим охранное оборудование.
Тел. . Звоните!