уравнение равновесия А (dajdx)+q~0. (Заметим, что последние уравнения представляют собой одномерный случай уравнений (4.3) с X=q/A.) Имеем

ЕА (d2u/dx2)+(7=0. (5.30)

Левая часть этих уравнений в рассматриваемом случае есть не что иное, как S>(A). Аппроксимирующая функция и задается согласно

1 Jr,w

Рис. 5.7.

(5.5). Подставляя ее в (5.30) и применяя МВН с критерием Галер-кина, получим

dx-N.qdx (/=1,2). (5.31)

Проведем теперь интегрирование по частям * левой части уравнения. Имеем

Так как параметры ui не зависят от координат, то

(5.31а)

du dNi

где {и} - вектор узловых перемещений элемента. Подставим теперь это соотнощение в левую часть (5.31а). Получим

( dNj \ V dx j

dN dx

dx{u}= N,qdx + N,EA

, (5.31b)

и полная система уравнений, получаемая с Fi=EA{duldx) и Ni=\ при х=0, а также Ai=0 при x=L (аналогично для и N2), имеет вид

tkKullFI+lF }, (5.32)

* В данном случае соответствующая формула интегрирования по частям имеет вид

., du , du

Ч dx

f dAi du J

[к] =

iN.qdx

\N,qdx

(5.33)

(5.34, 5.35)

Искомая матрица [к] совпадает с полученной в разд. 5.1. Как было указано выше, определяющие дифференциальные уравнения, записанные в смещениях, т. е. ди4х{)еренциальные уравнения равновесия, можно преобразовать с помощью метода взвешенных невязок в алгебраические уравнения относительно параметров перемещений с коэффициентами в виде интегралов. Этот подход обсуждается в гл. 6 и состоит в построении соотношений метода конечных элементов на базе рассмотрения потенциальной энергии. Соответственно определяющие дифференциальные уравнения, записанные относительно напряжений, можно преобразовать в уравнения метода конечных элементов как с помощью метода взвешенных невязок, так и с помощью подхода, использующего минимизацию дополнительной энергии. Результаты в обоих случаях совпадают.

Определяющие соотношения получаются в результате совместного учета уравнений упругости. В приведенных рассмотрениях определяющие дифференциальные уравнения получаются подстановкой соотношений между напряжениями и деформациями в дифференциальные уравнения равновесия. Что произойдет, если применить метод взвешенных невязок непосредственно к уравнениям теории ynpjTOCTH? Имеем

Условие равновесия: daJdx-\-qlA=Q, (5.36)

Соотношение между напряжениями и деформациями:

du/dx-aJE=0.

(5.37)

При построении алгебраических уравнений в этом случае введем весовой множитель гз для дифференциального уравнения равновесия и весовой множитель ф для соотношения между напряжениями и деформациями. Получим

(5.38)

(5.39)

Аппроксимации напряжений и перемещений представим в виде

=LN J{u}, (5.5b)

.= LSJ{}, (5.40)

где члены матрицы N J -функции формы для перемещений, а матрицы L 2 J - функции формы для напряжений. Выбирая весовые множители для этих членов, используем для т)з функции формы перемещений Nt, а для ф функции формы напряжений Hj. Рассмотрим сначала взвешенный интеграл от дифференциального уравнения равновесия. Вводя =Ni, имеем

(5.38а)

и после интегрирования первого члена и проведения выкладок получаем

Y-.Adx=N,A,\-\-\qN,dx. (5.41)

Подставляя выражение (5.40) для и замечая, что NiAox=Fi, имеем для всех величин Ni

[Qj{a} = {F}-f{F},

(5.42) (5.43)

(5.44)

а {F} - обычный вектор, объединяющий узловые силы.

Рассматривая далее взвешенный интеграл с подынтегральным выражением в виде произведения левой части соотношения между напряжениями и перемещениями на весовую функцию ф=3,-, получим

(5.39а)

и после подстановки выражений (5.5Ь) и (5.40) для и и имеем для всех S,

[iij {u)+[£iiil {а)=0. (5.45)