[Йхх]=-

(5.46)

Очевидно, что это соотношение связывает {и} и {о} таким образом, что оно оказывается удобным для объединения уравнений (5.42) и (5.45) в единое матричное уравнение:

Выведенные таким образом уравнения назовем уравнениями смешанного типа [см. уравнение (2.3) в разд. (2.3)1. В гл. 6 показано, что, применяя вариационные принципы при построении соотношений для элемента, можно прийти к тем же результатам, если использовать энергетический принцип Рейсснера. Так как возможны отличные от приведенных выше комбинации основных уравнений упругости, то ясно, что можно построить и другие типы соотношений между силами и перемещениями смешанного вида.

Рассмотрим теперь применение метода взвешенных невязок в двумерных задачах. Выберем для этой цели дифференциальное уравнение

или в более сжатой символической форме

УФ = С, где Г = + (5.49)

( - оператор Лапласа). Уравнение (5.49), называемое уравнением Пуассоне) описывает широкий круг физических процессов. В механике конструкций оно может описывать растягиваемую мембрану под нормальным давлением, где Ф - поперечное смещение, С - функция отношения величины давления к растягиваемым нагрузкам. Это уравнение может также описывать кручение стержней некруглого сечения, при этом Ф - функция напряжений. Это же уравнение описывает потенциальное течение жидкости, при этом Ф - функция тока или распространения тепла, здесь Ф - температура.

Согласно методу взвешенных невязок, аппроксимируем Ф в виде

Ф= L N J {Ф}, (5.50)

где L N J, как и ранее, включает набор функций формы, определяющих вид Ф в системе координат х, у, а {Ф} объединяет значе-

где [SjiJ определяется уравнением (5.43) и

ния Ф в дискретных точках. Следуя методу взвешенных невязок, имеем

5 (VO-C) N,dA = 0.

(5 51)

Как и ранее, проинтегрируем по частям дифференциальные слагаемые этих уравнений. Это можно осуществить при помощи первой формулы Грина [5.9], утверждающей, что

У ду

дФ dNi

дФ dNj

дх дх ду ду

(5 52)

После подстановки (5.50) вместо Ф получим для всех Ф, [И {Ф}={Р }+{Р},

[к ] =

dN ду

{F\lUN\CdA\.

(5.53) (5 54)

(5 55) (5.56)

Из (5.55) следует, что в рассматриваемой задаче учитываются производные от Ф вдоль границы. Однако задачи, описываемые уравнением [5.48], характеризуются граничными уравнениями, приводящими к альтернативной записи соотношений (5.55).

Следует отметить некоторые особенности применения метода взвешенных невязок. Во-первых, очевидно, что интеграл, значение i которого должным образом характеризует определенный тип поведения, можно легко выписать из интеграла взвешенного приближенного решения соответствующих дифференциальных уравнений. В механике конструкций существует целый ряд альтернативных] типов дифференциальных уравнений, следовательно, существуют) и альтернативные виды интегралов

Во-вторых, следует отметить важную роль операции интегри-j рования по частям. В методе взвешенных невязок до применения! этой операции рассматривается лишь внутренняя область элемента.! В результате интегрирования по частям благодаря появлению ин-1 тегралов по границе можно учесть граничные условия. Повторное! применение формул интегрирования по частям дает возможность!

определить альтернативные формы представления граничных интегралов.

Для рассматриваемых в книге задач метод взвешенных невязок с критерием Галеркина и энергетический (вариационный) метод приводят к совпадающим результатам. Так как энергетический метод более знаком инженерам-проектировщикам и является основным подходом в литературе по методу конечных элементов, в последующих главах ограничимся изложением этого подхода.

Литература

5 1. Turner М., Clough R., Martin Н., Topp L. Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures -J Aero Sci , Sept 1956, 23, No. 9, p 805-823 854.

5 2 Gallagher R H. Correlation Study of Methods ol Matrix Structural Analysis - New York, N Y Pergamon Press, 1964

5 3 Finlayson В The Method of Weighted Residuals and Variational Principles.- New York, N Y. Academic Press, 1972.

5 4. Hutton S. G , Anderson D L Finite Element Method. A Galerkin Approach.- Proc. ASCE, J Engr. Mech Div , Oct. 1971, 97, No. EMS, p 1503-1520

5 5 Aral M., Mayer P., Smith C. V Fmite Element Galerkin Method Solutions to Selected Elliptic and Parabolic Differential Equations -Proc. of Third Air Force Conf on Matrix Methods in Struct. Mech., Oct. 1971.

5 6 Zienkiewicz О С, Parekh С J Transient Field Problems Two-Dimensional and Three-Dimensional Analysis by Isoparametric Elements.-Int J Numerical Meth Engr , 1970, 2, No 1, p 61-72.

5.7. Szabo В , Lee G C. Derivation of Stiffness Equations for Problems m Elasticity by Galerkins Method.-Int J Numerical Meth Engr., 1969, I, No 3, p 301-310.

5 8. Szabo B. A., Lee G C. Stiffness Matrix for Plates by Galerkins Method - Proc ASCE, J Engr Mech. Div , June 1969, 95, No ЕМЗ, p 571-585

5 9 Sokolnikoff I., Redheffer R Mathematics of Physics and Modern Engineering, 2nd ed.-New York, N.Y.: McGraw-Hill Book Co., 1966, p 370-375.

Задачи

5.1. Постройте матрицу жесткости для простого скручиваемого элемента, используя прямой метод

5.2. Используя прямой метод, постройте матрицу жесткости для прямоугольного элемента в плоском напряженном состоянии в предположении линейности сме-

Рис. Р5.2.

щений вдоль границы Получите этот результат численно, построив сначала матрицы [D] и [А] в общем виде Определив коэффициенты этих матриц, перемножьте ла компьютере матрицы [A][E1[D] Положите =0 1 дюйма, X2=IQ дюймов, Уз= = 12 дюймов, £=10, ц=0 3 Сверьте полученные результаты с приведенными на