Тел. ОАО «Охрана Прогресс»
Установка Видеонаблюдения, Охранной и Пожарной сигнализации.
Звоните! Приедем быстро! Установим качественно! + гарантия 5 лет.
 
Установка технических средств охраны.
Тел. . Звоните!

Главная  Проектирование конструкций 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44  45  46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

[Йхх]=-

(5.46)

Очевидно, что это соотношение связывает {и} и {о} таким образом, что оно оказывается удобным для объединения уравнений (5.42) и (5.45) в единое матричное уравнение:

Выведенные таким образом уравнения назовем уравнениями смешанного типа [см. уравнение (2.3) в разд. (2.3)1. В гл. 6 показано, что, применяя вариационные принципы при построении соотношений для элемента, можно прийти к тем же результатам, если использовать энергетический принцип Рейсснера. Так как возможны отличные от приведенных выше комбинации основных уравнений упругости, то ясно, что можно построить и другие типы соотношений между силами и перемещениями смешанного вида.

Рассмотрим теперь применение метода взвешенных невязок в двумерных задачах. Выберем для этой цели дифференциальное уравнение

или в более сжатой символической форме

УФ = С, где Г = + (5.49)

( - оператор Лапласа). Уравнение (5.49), называемое уравнением Пуассоне) описывает широкий круг физических процессов. В механике конструкций оно может описывать растягиваемую мембрану под нормальным давлением, где Ф - поперечное смещение, С - функция отношения величины давления к растягиваемым нагрузкам. Это уравнение может также описывать кручение стержней некруглого сечения, при этом Ф - функция напряжений. Это же уравнение описывает потенциальное течение жидкости, при этом Ф - функция тока или распространения тепла, здесь Ф - температура.

Согласно методу взвешенных невязок, аппроксимируем Ф в виде

Ф= L N J {Ф}, (5.50)

где L N J, как и ранее, включает набор функций формы, определяющих вид Ф в системе координат х, у, а {Ф} объединяет значе-

где [SjiJ определяется уравнением (5.43) и



ния Ф в дискретных точках. Следуя методу взвешенных невязок, имеем

5 (VO-C) N,dA = 0.

(5 51)

Как и ранее, проинтегрируем по частям дифференциальные слагаемые этих уравнений. Это можно осуществить при помощи первой формулы Грина [5.9], утверждающей, что

У ду

дФ dNi

дФ dNj

дх дх ду ду

(5 52)

После подстановки (5.50) вместо Ф получим для всех Ф, [И {Ф}={Р }+{Р},

[к ] =

dN ду

{F\lUN\CdA\.

(5.53) (5 54)

(5 55) (5.56)

Из (5.55) следует, что в рассматриваемой задаче учитываются производные от Ф вдоль границы. Однако задачи, описываемые уравнением [5.48], характеризуются граничными уравнениями, приводящими к альтернативной записи соотношений (5.55).

Следует отметить некоторые особенности применения метода взвешенных невязок. Во-первых, очевидно, что интеграл, значение i которого должным образом характеризует определенный тип поведения, можно легко выписать из интеграла взвешенного приближенного решения соответствующих дифференциальных уравнений. В механике конструкций существует целый ряд альтернативных] типов дифференциальных уравнений, следовательно, существуют) и альтернативные виды интегралов

Во-вторых, следует отметить важную роль операции интегри-j рования по частям. В методе взвешенных невязок до применения! этой операции рассматривается лишь внутренняя область элемента.! В результате интегрирования по частям благодаря появлению ин-1 тегралов по границе можно учесть граничные условия. Повторное! применение формул интегрирования по частям дает возможность!



определить альтернативные формы представления граничных интегралов.

Для рассматриваемых в книге задач метод взвешенных невязок с критерием Галеркина и энергетический (вариационный) метод приводят к совпадающим результатам. Так как энергетический метод более знаком инженерам-проектировщикам и является основным подходом в литературе по методу конечных элементов, в последующих главах ограничимся изложением этого подхода.

Литература

5 1. Turner М., Clough R., Martin Н., Topp L. Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures -J Aero Sci , Sept 1956, 23, No. 9, p 805-823 854.

5 2 Gallagher R H. Correlation Study of Methods ol Matrix Structural Analysis - New York, N Y Pergamon Press, 1964

5 3 Finlayson В The Method of Weighted Residuals and Variational Principles.- New York, N Y. Academic Press, 1972.

5 4. Hutton S. G , Anderson D L Finite Element Method. A Galerkin Approach.- Proc. ASCE, J Engr. Mech Div , Oct. 1971, 97, No. EMS, p 1503-1520

5 5 Aral M., Mayer P., Smith C. V Fmite Element Galerkin Method Solutions to Selected Elliptic and Parabolic Differential Equations -Proc. of Third Air Force Conf on Matrix Methods in Struct. Mech., Oct. 1971.

5 6 Zienkiewicz О С, Parekh С J Transient Field Problems Two-Dimensional and Three-Dimensional Analysis by Isoparametric Elements.-Int J Numerical Meth Engr , 1970, 2, No 1, p 61-72.

5.7. Szabo В , Lee G C. Derivation of Stiffness Equations for Problems m Elasticity by Galerkins Method.-Int J Numerical Meth Engr., 1969, I, No 3, p 301-310.

5 8. Szabo B. A., Lee G C. Stiffness Matrix for Plates by Galerkins Method - Proc ASCE, J Engr Mech. Div , June 1969, 95, No ЕМЗ, p 571-585

5 9 Sokolnikoff I., Redheffer R Mathematics of Physics and Modern Engineering, 2nd ed.-New York, N.Y.: McGraw-Hill Book Co., 1966, p 370-375.

Задачи

5.1. Постройте матрицу жесткости для простого скручиваемого элемента, используя прямой метод

5.2. Используя прямой метод, постройте матрицу жесткости для прямоугольного элемента в плоском напряженном состоянии в предположении линейности сме-

Рис. Р5.2.


щений вдоль границы Получите этот результат численно, построив сначала матрицы [D] и [А] в общем виде Определив коэффициенты этих матриц, перемножьте ла компьютере матрицы [A][E1[D] Положите =0 1 дюйма, X2=IQ дюймов, Уз= = 12 дюймов, £=10, ц=0 3 Сверьте полученные результаты с приведенными на




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44  45  46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139



Установим охранное оборудование.
Тел. . Звоните!