тимых перемещений удовлетворяет условиям закрепления на концах между этими точками и характеризуется непрерывным изменением наклона касательной (требование теории изгиба). Перемещения, изображенные на рис. 6.1 (Ь), либо не удовлетворяют условиям закрепления на концах, либо имеют разрывную производную внутри области и поэтому являются недопустимыми. В последующих разделах всесторонне обсуждается значение требований допустимости полей перемещений при расчетах методом конечных элементов.

При указанных условиях принцип виртуальных перемещений утверждает, что сумма потенциала внешних нагрузок bV и величины запасенной энергии деформации 8U при виртуальных перемещениях 6А равна нулю. Таким образом,

8U+8V=0. (6.1)

Чтобы доказать это утверждение, рассмотрим плоское напряженное состояние (Ог=тг=Гг/г=0) пластины единичной толщины при отсутствии объемных сил и начальных деформаций. (Рассмотрение общего случая не представляет трудностей.) Напряженное состояние тела, находящегося в равновесии, задается с помощью компонент тензора напряжений о, Оу, ху Компоненты поля виртуальных перемещений 6А обозначаются через 8и и би. Указанным величинам, согласно соотношениям между перемещениями и деформациями, соответствуют вариации деформаций

6ех=д{8и)/дх, 8ey=d{8v)/dy, 8yxy=d(8v)/dx+d{8u)/dy. (6.2)

Приходим к следующему выражению для энергии деформации, соответствующей виртуальным перемещениям:

8и=\а-8ейА = \[Ох{8гх)+Оу(8гу) + Хху{8уху)]с1А. (6.3)

Заметим, что работа, обусловленная изменением напряжений при виртуалы/ых перемещениях, не учитывается из-за малости. Подставляя теперь соотношения между деформациями и перемещениями (6.2), получим

66/ = f {а, (б ) + ау1 (dv) + х,у (б ) + (6t/)] } dA. (б.За)

Заметим далее, что

]-.44 i (6.4,

и аналогично для интегралов, содержащих

Cyd{8v)/dy, Ххуд{8и)/ду, xd(8v)/dx.

Следовательно, после подстановки имеем ху

- I V ад: ai/ / v а, г ,

dA +

+ 1 [( + (*Л) + Кбу) +(t, ] dA. (6.3b)

В правой части соотношения члены в круглых скобках в первом интеграле, а именно

\дх ду / \ду дх /

равны нулю в силу дифференциальных уравнений равновесия (4.2). Поэтому выражение для Ы/ можно упростить и записать в виде

6t/ = j [[(т> + т,бу] +[а/у + т,б ]] dA. (6.3с)

Используем теперь теорему Гаусса (интегрирование по частям в плоском случае) для преобразования данного выражения, записанного для внутренних точек тела, в выражение, содержащее члены, отвечающие не только внутренним точкам области, но и ее границе. С физической точки зрения теорема утверждает, что изменение величин в области характеризуется разностью потоков, входящих и выходящих из области.

Согласно этой теореме.

dA =

= J [(о> + т, бу) I, + (стбу + т б ) / J dS, (6.5)

где Ix и ly - направляющие косинусы нормали к поверхности. Итак, (6.3с) записывается в виде

= j [(о./. + т / ) б + ((Ту/ -f т,у/J бу]dS. (6.6)

Теперь из (4.5) следует, что Г,=а, /Ч-т,;, и 7=0 /jz+y где и Ту - заданные усилия на границе. Кроме того, полезно различать участок границы, где заданы усилия (обозначим его через So), и участок границы, где заданы перемещения (обозначим его через SJ. Виртуальные перемещения равны нулю на участке границы, где заданы перемещения. Поэтому

W = 5 (ТМ + Гбу) dS = - bV,

6.1.2. Конечно-элементная дискретизация виртуальной работы

Доказав справедливость принципа виртуальной работы, перейдем к описанию общей процедуры построения матрицы жесткости элемента. Рассмотрим вначале процедуру выбора предполагаемого поля перемещений А. Как отмечалось выше, величина А записывается жирным шрифтом, что показывает возможность учета полного набора компон<5нт смещений и, v и w. Согласно введенным обозначениям, запишем выражение для указанного поля в виде

A=[N1{A}. (5.5а)

Используя формулы, связывающие перемещения с деформациями, получим

e=[D] {А}. (5.6с)

Распределения виртуальных перемещений 6А и виртуальных деформаций бе берутся в том же самом виде, что и в (5.5а) и (5.6с). Имеем

6A = [N]]6A}, (6.7)

6e=[D]{6A}. (6.8)

Применим принцип виртуальных перемещений к довольно общему случаю, когда учитываются объемные силы X (проекции сил обозначаются через X, Y и Z) и начальные деформации е . С учето.\1

так как очевидно, что потенциал приложенных нагрузок, соответствующий виртуальным перемещениям 6V, равен выписанному интегралу. (Величина 8V отрицательна потому, что она отвечает (вариации) потенциальной энергии приложенных нагрузок, которая уменьшается при деформации упругой конструкции.) Итак, принцип виртуальной работы доказан.

Очень часто акцентируется внимание на том обстоятельстве, что при проведении рассмотрений не использовались уравнения состояния и поэтому при применении принципа не требуется ограничиваться линейным законом связи между напряжениями и деформациями. Однако при расчетах физически нелинейных задач методом конечных элементов обычно рассматривается последовательность малых приращений нагрузок и производится линеаризация. Тем не менее общий характер принципа важен при построении инкрементальных моделей.

В книге не рассматривается принцип виртуальных сил, а отдается предпочтение вытекающему из него принципу стационарности дополнительной энергии, обсуждаемому в разд. 6.6. Заметим только, что в принципе виртуальных сил виртуальные напряжения должны удовлетворять условиям равновесия.