[к] = Г J[Dr[E][D]d(vol)

(матрица жесткости элемента), (6.12а)

pinit = I J -D]t[-£]ginitc((vo])\ (вектор начальных усилий для Ivol )

элемента). (6.12Ь)

Чтобы учесть объемные силы, потенциал приложенных сил б К нужно дополнить интегралом - j6A-Xd(vol). Подставляя 6A=[N{6A},

получим- LAJ {F*}, где

= Н [N]TXd(vol)l (вектор объемных сил для элемента). (6.12с)

vol

* Указанные произведения скалярных и векторных величин соответствуют определению работы как произведения силы на перемещение в направлении действия силы (см. разд. 2.4). При подсчете работы принимается, что сила равна полному своему значению, поэтому множитель 1/2 (фигурирующий в выражении для работы, если значение силы растет от нуля до своего максимального значения) отсутствует.

последних уравнения состояния имеют вид

a=[el8-[Ele . (4.15)

Теперь может быть выписано выражение для виртуальной работы. Для этого рассматриваются только узловые силы Ft. Распределенные нагрузки рассматриваются ннже. Потенциал прикладываемых узловых сил {F}, отвечающий виртуальным узловым перемещениям {6А} *\ равен

6l/=-L6A J{F}. (6.9)

Работа внутренних сил получается в результате действия внутренних напряжений о на деформациях бе, обусловленных виртуальными перемещениями. Обобщая (6.3) на случай интегрирования по объему, получим

6f/= J обе d(vol) (6.10)

и после подстановки о согласно соотношениям между напряжениями и деформациями (4.15) будем иметь

6f/ = J Е [Е] Ш (vol)- J 8 it [Е] Ьгй (vol). (6.11)

vol vol

Далее, чтобы получить дискретный аналог выражений для виртуальной работы и энергии, подставим вместо г выражение (5.6с), а вместо 6е - выражение (6.8). Имеем

6f/=L6AJ {[k]{A}-{F }}, (6.12)

Более того, специально выделим объемные силы, обусловленные динамическим поведением конструкции, которые, согласно принципу Даламбера, рассматриваются как некоторые эффективные силы (силы инерции)

Х=-[р1А, (6.13)

где [р1 - тензор масс на единицу объема, записанный в матричной форме. Из (5.5а), предполагая, что задание характера изменения {А} во времени полностью определяет движение, имеем

A=[N1{A}, (6.14)

поэтому

{F}=-[ml {А}, (6.12d)

[т]= 5 [Nf [p][N]d(vol) (матрица масс). (6.12е)

Приравнивая 6U к -8V, согласно принципу виртуальной работы (6.1), получаем

L6A J {-[ml {A}+{F}}=LSAJ [[к] {A}-{F }1. (6.15)

Окончательно, замечая, что это соотношение справедливо для любых значений виртуальных узловых перемещений{6А}, запишем следующие уравнения жесткости элемента, учитывающие начальные деформации и силы инерции:

{F}=[kl {A}-{F }+[ml {А}. (6.16)

Эти уравнения представляют собой уравнения равновесия злехмента. Коэффициенты этих уравнений записываются на основе соотношений (6.12а) -- (6.12е).

Если на поверхность тела действуют распределенные нагрузки, выражение для потенциала приложенных нагрузок 8V (см. (6.9)) необходимо дополнить интегралом, представляющим работу этих нагрузок на перемещениях поверхности тела. Чтобы различать поле перемещений точек внутри тела и поле поверхностных перемещений, обозначим последнее через и. Величина и определяется заданием смещений А на поверхности тела и так как последние, согласно (5. 5а), выражаются в терминах узловых смещений, то и перемещения также выражаются через перемещения узлов. Имеем

u=[Kl{A}. (6.17)

Обозначая распределенные внешние нагрузки (усилия) через Т, получим следующий вклад в потенциал прикладываемых нагрузок

8V: -\8u-TdS, где через So обозначен участок поверхности, па

S [Cf [E][C]d(vol)

(6.2g)

где [к ) называется далее опорной матрицей жесткости. Аналогичные опорные выражения можно получить и для вектора на чальных сил, матрицы масс и т. д.

котором заданы усилия Т, а би - виртуальные перемещения поверхности. Снова выбирая распределение виртуальных перемещений в том же виде, что и для действительных перемещений (6.17), получим

-би=[К1{бЛ}. (6.17а)

Дальнейшая подстановка в выражение для виртуальной работы внешних сил дает

[ 6А J{F}= L6AJ 5[Kf .fdS, (6.18)

поэтому

{F } = 5 [УУ -TdS. (6.12f)

Левую часть соотношения (6.18) следует добавить к левой части соотношения для виртуальной работы (6.15), откуда следует, что {F) должно быть добавлено к левой части уравнения жесткости (6.16). По причинам, указанным выше, компоненты матрицы {F} называются энергетическими эквивалентными нагрузками.

Следует отметить, что, как и в гл. 5, предполагаемое поле перемещений можно выразить в терминах обобщенных перемещений, т. е. в виде

А=[р] (а), (5.2а)

и применяя процедуру из разд. 5.1, это выражение можно записать в терминах узловых смещений. Можно показать, что окончательная формула имеет вид

A=[p][B]-MA}=[N] {А}. (5.5а)

Глава 8 частично посвящена изучению альтернативных форм записи поля через узловые перемещения либо через обобщенные степени свободы.

Если поле перемещений выражается в терминах обобщенных параметров, то иногда удобно строить матрицы элемента, используя эти параметры. Рассмотрим, в частности, матрицу жесткости элемента. В этом случае для получения деформации дифференцируют перемещения: е=[С] {а} (см. (5.6а)), а деформации, обусловленные виртуальными перемещениями, равны б8=[С1 (Sa). Подстановкой в выражение (6.11) для 6U получим (начальные деформации для простоты не рассматриваются)