где все входящее в выражение символы определены ранее. Снова заметим, что интеграл по участку поверхности 5 , где заданы перемещения, не входит в выписанное выражение благодаря выполнению условий кинематической допустимости для выбранных полей перемещений. Иными словами, указанные геометрические главные (или вынужденные) граничные условия строго выполняются. Первая вариация V дается выражением

8V = --Fi8A,- 5 T.fiudS. (6 49)

Обращаясь вновь к принципу виртуальной работы (6.1), видим, что, согласно (6.41), 66/+бУ=бПр=0, откуда первая вариация должным образом записанной потенциальной энергии Пр равна нулю, т. е. Up стационарна в точке, соответствующей решению.

6.4.2. Конечно-элементная дискретизация

Приведем рассуждения, опираясь на знание полей перемещений, выраженных в терминах степеней свободы. Согласно (5.6с), имеем e=[D] {Л}. Поэтому, подставляя указанное выражение для е в (6.46), получим

и==Ш.[к]{А\-1А \ {F [ + С (e t), (6.50)

где [к] и {Р } определяются согласно выражениям (6.12а) и (6.12Ь), полученным с учетом принципа виртуальной работы.

Кроме того, запишем в дискретном виде величину V (учитывая, что, согласно (6.17а), 6и=[К]{Л}):

l/=-LAJ{F}-LAJ{F}, (6.51)

где {F**} определяется из (6.12 f).

Теперь с учетом (6.50) и (6.51) запишем выражение для потенциальной энергии полностью в дискретном виде

n, = LAJ[k]{A}-LAJ ItFl + iFnt + iF }}, (6.39а)

которое является квадратичной формой общего вида. Используя далее условие стационарности [т. е. {ЗП/ЗА}=0, см. (6.35Ь)], получим

[k]{A}={F}+{F }+{F}. (6.52)

Чтобы выяснить, максимальна или минимальна в этой точке энергия, рассмотрим вторую вариацию. Для консервативных на-

6. Вариационные методы построения конечных элементов

грузок, если {F} - постоянный вектор, то 6 n,= L6A J[k] {бЛ}.

(6.53)

Ясно из физического смысла, что энергия деформации должна быть положительна. Учитывая, что энергия деформации равна L/ = VaLA J[k] {Д}, а IА] - произвольный вектор, заключаем, что [к] - положительно определенная матрица. Следовательно, величина бП, неотрицательна и потенциальная энергия минимальна.

Факт достижения потенциальной энергией минимума на решении может быть использован проектировщиком для оценки некоторых параметров и установления границ для точного решения. Это свойство используется в дальнейшем в гл. 7 при построении решения для всей конструкции. Заметим также, что положительная определенность матрицы [к] позволяет установить минимальные свойства. Для некоторых смешанных вариационных принципов, о которых речь пойдет ниже, основная матрица коэффициентов в конечно-элементном представлении не обладает этим свойством и поэтому нельзя задать границы изменения параметров решения.

Следует подчеркнуть, что принцип минимума потенциальной энергии можно применить при построении матрицы жесткости элемента как присущее конструкции свойство без учета условий, которые должны выполняться при переходе через границы элемента, если элемент включен в глобальное представление конструкции. Если при построении глобального конечно-элементного представления эти условия нарушаются, то аналитическая модель характеризуется межэлементной несогласованностью, при этом нет уверенности в том, что при решении будет достигнут нижний предел. На практике несогласованные элементы применяют из-за того, что они проще согласованных элементов. Можно проверить, позволяет ли использование указанных элементов найти в пределе при измельчении сетки правильное решение [6.5]. Примеры таких элементов даны в последующих главах.

Как было показано, формулы для матриц элементов в линейных задачах теории упругости совпадают, если их получать на основе принципов соответственно виртуальной работы и минимума потенциальной энергии. Принцип виртуальной работы является более фундаментальным и его обобщения позволяют построить конечно-элементные представления не только для задач расчета конструкций. Поэтому многие предпочитают использовать именно этот принцип. С другой стороны, выражения для энергии деформации либо хорошо известны, либо легко выписываются во многих задачах расчета конструкций. Кроме того, энергетический подход делает наглядными экстремальные свойства решения и позволяет построить, как мы увидим в гл. 7, альтернативные алгоритмы, основанные на этих свойствах.

6.4.3. Примеры

Интересно применить описанный выше подход для построения матрицы жесткости и других матриц для элементов, изученных в гл. 5. Для простоты при выборе подходящих полей перемещений в эле-

Рис. 6.6.

менте используем выражения, которые записываются непосредственно в терминах узловых смещений элементов, а не обобщенных параметров. Так, для рассмотренного в разд. 5.1 и 5.5 (см. рис. 6.6) стержневого элемента, согласно (5.3), имеем u=(\-x/L) Ui+ + {x/L) Ui, поэтому

LNJ =

Подставляя указанные выражения в (6.12а) и (6.12е), получим матрицу жесткости [к] и матрицу массы [т] элемента

1 1 l l

а если начальные деформации обусловлены термоупругим расширением (е =аГ), из (6.12Ь) имеем

{)=\{~\ll]EoXAdx = AEar[~\y

Кроме того, для распределенной вдоль стержня нагрузки q (1 фунт/ дюйм) постоянной интенсивности имеем \=qlA. Из (6.12с) следует, что

{F} =