-Уз Уз о о 0 0

о 0 0 - Xi -Ха Xi

Xa - Xi -Ха Xi -Уа У а О

Матрица жесткости, полученная с использованием [D] в выражении (6.12а) для виртуальной работы, совпадает с изображенной на рис. 5.4 из-за простого характера линейного поля, задаваемого с помощью L N J. Построение матриц [т] и {Р } оставляем читателю в качестве упражнения (см. задачи 6.4 и 6.7).

Для плоского напряженного состояния распределенные нагрузки обычно прикладываются к краям конструкции, а не в виде нагрузок, распределенных по поверхности элемента. Следовательно, для подсчета {Р} имеет смысл рассмотреть вопросы, связанные с распределением нагрузок по поверхности всей конструкции. Целесообразно отложить обсуждение этих вопросов до гл. 9, где рассматриваются глобальные аспекты расчета задач плоского напряженного состояния.

Как стержневой, так и треугольный элемент с линейным распределением перемещений дает неправильное представление об особенностях построения конечных элементов с использованием принципа минимума потенциальной энергии (или виртуальной работы). Это происходит из-за характера предполагаемых полей перемещений, которые соответствуют полям напряжений, удовлетворяющим дифференциальным уравнениям равновесия. Например, для треугольного элемента оказывается, что дифференциальное уравнение равновесия dajdx+dxjgy/dy=0 тождественно удовлетворяется, если в него подставить выражение (5.7а) для напряжений

Полученная матрица [к] совпадает с матрицей, построенной с помощью прямого метода. Так как поле перемещений в элементе имеет простой вид, то пропорциональное задание узловых сил с помощью транспонирования матрицы, связывающей перемещения и деформации, и непосредственное задание сил в узлах приводят к идентичным результатам. Что касается термоупругих сил, то, как и следовало ожидать, компоненты вектора {F *} представляют силы, требуемые для компенсации перемещений элемента, вызванных приращением температуры Г. Кроме того, реализация распределенных нагрузок совпадает с той, которая получена в результате выполнения процедуры пропорционального распределения нагрузок по узлам.

Рассмотрим треугольный элемент, изображенный на рис. 5.3. Согласно (5.21а), имеем

L N J = L (хУа - хуа - ху + ху) (хуа-ХаУ) (ху) J , а из (5.22) следует, что

6.4.4. Аппроксимация геометрических характеристик

В разд. 3.4 было отмечено, что одним из преимуществ метода конечных элементов является возможность рассчитывать конструкции сложной геометрии. Следует, однако, отметить, что, как правило, реальную конфигурацию конструкции приходится при расчетах каким-либо образом аппроксимировать, а это служит дополнительным источником погрешностей. Хотя аппроксимации поведения (т. е. перемещений) уделяется больше внимания, вопросы, связанные с аппроксимацией геометрии конструкций, имеют такое же, а подчас и более важное значение. В настоящее время известно, что вариационный подход дает возможность более точно аппроксимировать геометрию конструкции.

При обсуждении указанного круга вопросов полезно делать различие между трехмерными конструкциями, пластинами и призматическими телами. В случае трехмерных конструкций, как правило, имеют дело с криволинейными поверхностями, а для пластин и призматических элементов основными параметрами являются вариации толщин и площади. Некоторые основные рассмотрения аппроксимации последних приводятся в данной главе. Вопросы аппроксимации геометрии трехмерных тел обсуждаются в последующих главах.

Стержневой элемент с переменным поперечным сечением, изображенный на рис. 6.7, иллюстрирует основные факторы аппроксимации геометрии конусообразных призматических элементов и

Рис. 6.7. Стержневой элемент с сужающимся переменным поперечным сечением.

пластин переменной толщины. Обычно при расчетах профилированные элементы аппроксимируются ступенчатым образом с использованием элементов постоянной толщины. Это - хорошая аппроксимация, если берется достаточно большое количество элементов, однако вычисления показывают, что возникающая при такой ап-

1о = [Е1 (D] {А}. Однако выбор кинематически допустимого поля перемещений обычно осуществляется без учета условий равновесия, и поэтому, вообще говоря, это поле не будет удовлетворять указанным условиям. Данное обстоятельство будет в дальнейшем проиллюстрировано при построении более сложных элементов.

6. Вариационные методы построений конечных элементов

проксимации ошибка может превосходить ошибку от аппроксимации полей перемещений.

Альтернативой ступенчатому представлению служит простая аппроксимация величины А {х) во всем конструктивном элементе либо на сегментах, разбивающих этот конструктивный элемент. Указанная аппроксимация необходима в силу следующего обстоятельства. Если требуется найти явный вид матрицы жесткости элемента, то, как легко видеть, никаким единым представлением А {х) нельзя задать точно все возможные формы конструкции.

Учитывая сказанное, запишем энергию деформации элемента в виде

Функция перемещения (5.5), использовавшаяся ранее для элемента постоянного сечения, в нашем случае не является точной, так как она приводит к условию постоянства деформаций, которое уже не выполняется вдоль оси элемента. Однако эта аппроксимация удобна и будет здесь использована.

Для данного примера предположим, что А {х) (см. рис. 6.7) изменяется между точками 1 и 2 линейно. Поэтому запишем

где Л1 и Ла - площади поперечного сечения в точках 1 и 2. Для указанных аппроксимаций перемещений и геометрических характеристик получим выражение для энергии деформации

{l}[K-x)ij{t}]L--u{::},

После интегрирования получим

Путем сравнения можно построить следующую точную матрицу жесткости стержневого элемента с линейным изменением толщины

1 -1 -1 1