Тел. ОАО «Охрана Прогресс»
Установка Видеонаблюдения, Охранной и Пожарной сигнализации.
Звоните! Приедем быстро! Установим качественно! + гарантия 5 лет.
 
Установка технических средств охраны.
Тел. . Звоните!

Главная  Проектирование конструкций 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56  57  58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

условия. Так как в нашем случае эти условия строго не выполняются, то последние рассматриваются как естественные граничные условия. Вспомним, что естественные граничные условия представ-


I A,(munuvHoe)


Рис. 6.10. Предполагаемые поля напряжений и перемещений, используемые во втором гибридном методе перемещений, (а) Описание перемещений (внутренние и соответствующие поверхностные смещения (и) выражены через обобщенные параметры {а}, задаваемые поверхностные смещения (и) - через узловые смещения {Д}): (Ь) описание напряжений (поверхностные силы выражены через обобщенные параметры {Р/}).

ляются непосредственно в функционале энергии при помощи члена, выражающего работу. Выпишем интеграл работы граничных сил Т на невязке перемещений (и - и), т. е.

5 Т(и-u)dS,

и модифицируем соответствующим образом выражение для потенциальной энергии *. Имеем

n = f/- 5 t-udS- 5t(u-u)dS.

(6.60)

в проводимых рассмотрениях граница состоит из частей границ элементов, аппроксимирующих границу конструкции. Так как здесь рассматриваются лишь вопросы построения внутренних элементов, то в дальнейшем опустим интеграл по S. Таким образом.

* Член J 1{w~w)iS можно получить иначе, если предположить, что Пг-

функционал, построенный с целью исключения невязки в перемещениях (и-и). Поэтому требуется ввести ограничения вида (и-и)=0. С этой целью используем, во-первых, метод множителей Лагранжа из разд. 6.3, согласно которому необходимо ввести дополнительное слагаемое J (u-\i)iS в выражение для потенциаль-

ной энергии. Однако, как было замечено ранее, множитель Лагранжа имеет в нашем случае размерностьпараметра нагружения и является граничным усилием Т, соответствующим невязке (и-и). Поэтому к основному выражению для потенциальной энергий необходимо добавить член J T(u-u)dS.



] 6. Вариационные методы построения конечных элементов

приходим к следующему модифицированному выражению для потенциальной энергии:

n = fy-5 T(II-u)d5. (6.60а)

Для дискретизации выражения (6.60а) требуется выразить величины 8, U, U и Т через исходные поля. Представления для е и уже имеются в виде (5.6d) и (6.55). Требуется теперь соответствующим образом представить и и Т.

Необходимо выразить и в терминах узловых перемещений {А}. (Это соотношение было уже записано (см. (6.17)) символически в виде u=fKl {А}, где верхней чертой отмечены заданные величины.) Кроме того, граничные усилия Т должны быть выражены через обобщенные параметры {Р/}. Здесь для обозначения параметров, не входящих в число параметров, отвечающих движению тела как твердого целого, также используется нижний индекс /, что согласуется с предыдущими рассуждениями относительно определения граничных усилий (см. замечания, приведенные в тексте до выражения (6.56)), Итак, запишем указанные соотношения в виде

T=[L1[P/J. (6.61)

Дискретизацию Пр можно вьшолнить при помощи подстановки в (6.60а) выражений для е, U/, и и Т соответственно из (5.6d), левой части (6.55), (6.17) и (6.61). В итоге получим

Пр = [И] ]а/} - L Р. J [/] ]А} + L а/ J [Qj ]ji/}- (6.60b) где [Hj определяется согласно (6.57), а

l-Sn

[Q] =

(6.62) (6.63)

Чтобы построить искомую матрицу жесткости, выпишем алгебраические уравнения, варьируя сначала Пр по {а/}, а затем по {By}. Имеем

[H]{a,l + fQ]{p,} = 0, (6.64а)

[I]\A}-[QY {а/}=0. (6.64Ь)

Выражая из этой системы {а/} и {Р/} через {А} и вновь подставляя полученные выражения в (6.60b), получим

П?=Ц[к]{А}. (6.65)

где [к] = [/Г [[QV [Н]- [Q]]- [/]. (6.66)



6.5.4. Пример реализации второго гибридного метода

Рассмотрим снова балочный элемент, который изображен на рис. 6.11. Величины 8 и u определяются так же, как и в предыдущем примере, а матрица [Н] та же самая. Граничные смещения и равны узловым перемещениям:

поэтому очевидно, что [К] = [1] (единичная матрица). Так как в настоящем подходе требуется выразить вектор граничных усилий Is [ f i Ml f 2 Л1а J в терминах обобщенных параметров, то для

Рис. в.И.


каждой узловой силы выберем один обобщенный параметр, т. е. LPiP2PaP4J- Как и ранее, Т - система самоуравновешенных сил, поэтому из условия равновесия следует, что р2=-FihM = -FiL-Mi. Откуда Рз=-Pi и 4=-PiL-Ра. Следовательно,

где матрица [L] совпадает с матрицей [L], построенной для иллюстрации первого гибридного метода, а {Р/}= LPiPa J.

Из иллюстративного примера для П имеем матрицу [Yl для этого случая. Применяя эту матрицу совместно с приведенным выше выражением для [L] и fKj=[ll в формулах (6.62), (6.63), находим

Подставляя указанные матрицы и полученную ранее матрицу [HI в (6.66), приходим к обычной матрице жесткости элемента.

1 0 -1 -L-

0 1 0-1

, [Q]=

6.5.5. Обобщенная потенциальная энергия

Подход, основанный на обобщенной потенциальной энергии, можно пояснить, по-иному интерпретируя выражение (6.60а). Рассмотрим вычисление энергии деформации U и поверхностных интегралов как не связанные друг с другом операции. Взятая отдельно, энергия деформаций зависит от перемещений внутри элемента А. В этом частном виде метода обобщенной потенциальной энергии [6.6-




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56  57  58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139



Установим охранное оборудование.
Тел. . Звоните!