условия. Так как в нашем случае эти условия строго не выполняются, то последние рассматриваются как естественные граничные условия. Вспомним, что естественные граничные условия представ-

I A,(munuvHoe)

Рис. 6.10. Предполагаемые поля напряжений и перемещений, используемые во втором гибридном методе перемещений, (а) Описание перемещений (внутренние и соответствующие поверхностные смещения (и) выражены через обобщенные параметры {а}, задаваемые поверхностные смещения (и) - через узловые смещения {Д}): (Ь) описание напряжений (поверхностные силы выражены через обобщенные параметры {Р/}).

ляются непосредственно в функционале энергии при помощи члена, выражающего работу. Выпишем интеграл работы граничных сил Т на невязке перемещений (и - и), т. е.

5 Т(и-u)dS,

и модифицируем соответствующим образом выражение для потенциальной энергии *. Имеем

n = f/- 5 t-udS- 5t(u-u)dS.

(6.60)

в проводимых рассмотрениях граница состоит из частей границ элементов, аппроксимирующих границу конструкции. Так как здесь рассматриваются лишь вопросы построения внутренних элементов, то в дальнейшем опустим интеграл по S. Таким образом.

* Член J 1{w~w)iS можно получить иначе, если предположить, что Пг-

функционал, построенный с целью исключения невязки в перемещениях (и-и). Поэтому требуется ввести ограничения вида (и-и)=0. С этой целью используем, во-первых, метод множителей Лагранжа из разд. 6.3, согласно которому необходимо ввести дополнительное слагаемое J (u-\i)iS в выражение для потенциаль-

ной энергии. Однако, как было замечено ранее, множитель Лагранжа имеет в нашем случае размерностьпараметра нагружения и является граничным усилием Т, соответствующим невязке (и-и). Поэтому к основному выражению для потенциальной энергий необходимо добавить член J T(u-u)dS.

] 6. Вариационные методы построения конечных элементов

приходим к следующему модифицированному выражению для потенциальной энергии:

n = fy-5 T(II-u)d5. (6.60а)

Для дискретизации выражения (6.60а) требуется выразить величины 8, U, U и Т через исходные поля. Представления для е и уже имеются в виде (5.6d) и (6.55). Требуется теперь соответствующим образом представить и и Т.

Необходимо выразить и в терминах узловых перемещений {А}. (Это соотношение было уже записано (см. (6.17)) символически в виде u=fKl {А}, где верхней чертой отмечены заданные величины.) Кроме того, граничные усилия Т должны быть выражены через обобщенные параметры {Р/}. Здесь для обозначения параметров, не входящих в число параметров, отвечающих движению тела как твердого целого, также используется нижний индекс /, что согласуется с предыдущими рассуждениями относительно определения граничных усилий (см. замечания, приведенные в тексте до выражения (6.56)), Итак, запишем указанные соотношения в виде

T=[L1[P/J. (6.61)

Дискретизацию Пр можно вьшолнить при помощи подстановки в (6.60а) выражений для е, U/, и и Т соответственно из (5.6d), левой части (6.55), (6.17) и (6.61). В итоге получим

Пр = [И] ]а/} - L Р. J [/] ]А} + L а/ J [Qj ]ji/}- (6.60b) где [Hj определяется согласно (6.57), а

l-Sn

[Q] =

(6.62) (6.63)

Чтобы построить искомую матрицу жесткости, выпишем алгебраические уравнения, варьируя сначала Пр по {а/}, а затем по {By}. Имеем

[H]{a,l + fQ]{p,} = 0, (6.64а)

[I]\A}-[QY {а/}=0. (6.64Ь)

Выражая из этой системы {а/} и {Р/} через {А} и вновь подставляя полученные выражения в (6.60b), получим

П?=Ц[к]{А}. (6.65)

где [к] = [/Г [[QV [Н]- [Q]]- [/]. (6.66)

6.5.4. Пример реализации второго гибридного метода

Рассмотрим снова балочный элемент, который изображен на рис. 6.11. Величины 8 и u определяются так же, как и в предыдущем примере, а матрица [Н] та же самая. Граничные смещения и равны узловым перемещениям:

поэтому очевидно, что [К] = [1] (единичная матрица). Так как в настоящем подходе требуется выразить вектор граничных усилий Is [ f i Ml f 2 Л1а J в терминах обобщенных параметров, то для

Рис. в.И.

каждой узловой силы выберем один обобщенный параметр, т. е. LPiP2PaP4J- Как и ранее, Т - система самоуравновешенных сил, поэтому из условия равновесия следует, что р2=-FihM = -FiL-Mi. Откуда Рз=-Pi и 4=-PiL-Ра. Следовательно,

где матрица [L] совпадает с матрицей [L], построенной для иллюстрации первого гибридного метода, а {Р/}= LPiPa J.

Из иллюстративного примера для П имеем матрицу [Yl для этого случая. Применяя эту матрицу совместно с приведенным выше выражением для [L] и fKj=[ll в формулах (6.62), (6.63), находим

Подставляя указанные матрицы и полученную ранее матрицу [HI в (6.66), приходим к обычной матрице жесткости элемента.

6.5.5. Обобщенная потенциальная энергия

Подход, основанный на обобщенной потенциальной энергии, можно пояснить, по-иному интерпретируя выражение (6.60а). Рассмотрим вычисление энергии деформации U и поверхностных интегралов как не связанные друг с другом операции. Взятая отдельно, энергия деформаций зависит от перемещений внутри элемента А. В этом частном виде метода обобщенной потенциальной энергии [6.6-