6.8], который рассматривается ниже, перемещения внутри элемента записываются в терминах узловых перемещений, т. е. A=[N] {Л}. Однако эти перемещения не удовлетворяют требованиям межэлементной непрерывности. Так, матрица жесткости, которую назовем основной матрицей жесткости [к ], подсчитывается в результате подстановки А в (У. Поэтому элементы не будут согласованы.

Рассмотрим теперь поверхностный интеграл по 5 в (6.60а). (Здесь опять обсуждаются лишь внутренние элементы, поэтому поверхностный интеграл по 5о опускается.) Из предыдущих рассуждений следует, что этот интеграл отвечает за реализацию условий непрерывности перемещений вдоль границ элемента. Как и ранее, опишем граничные перемещения и независимо от внутренних пере-ме1цений таким образом, чтобы они были согласованы при переходе границы элемента, но выражались через узловые перемещения {Л}. Что касается граничных усилий Т, то в нашем случае они сначала записываются через производные от перемещений. При этом используются соотношения теории упругости (4.5), соотношения, связывающие напряжения с деформациями и деформации с перемещениями.

Эти перемещения далее аппроксимируются с помощью и. В результате получим интеграл, который квадратичен по узловым перемещениям {А} и который содержит в качестве матрицы Гессе корректировочную матрицу жесткости [к]. Следовательно, полная матрица жесткости имеет вид

[k=lk ]+[kj. (6.67)

Альтернативным к описанному выше подходу, основанному на методе обобщенной потенциальной энергии, является подход (6.9, 6.101, в котором основные матрицы жесткости элементов ко] определяются численно и суммируются, образуя глобальную матрицу жесткости без какой-либо корректировки соотношений, отражающих разрывность перемещений для отдельных элементов. Далее в виде ограничений выписываются соотношения, отражающие выполнение в среднем условий межэлементной непрерывности, и эти ограничения при помощи метода множителей Лагранжа добавляются к глобальным уравнениям. Так как этот подход правильнее отнести к процедуре анализа конструкции в целом, возвратимся к нему снова в гл. 7.

Так как идеи построения элементов с помощью гибридных методов и метода обобщенной потенциальной энергии иллюстрировались на простых примерах, то приведенные построения не обладают общностью. Это отчетливо видно из замечаний относительно построения некоторых полей перемещений и граничных усилий (см. текст, следующий за (6.56)). Однако в главах, касающихся расчета плоского напряженного состояния и изгиба конструкций, мы вновь

6.6. Метод минимизации дополнительной энергии 187

вернемся к формулировкам этого типа, проводя при этом рассмотрения более общего вида. Исследования еще более общих вопросов представлены в работах [6.5-6.8, 6.11, 6.121.

6.6. Метод мкнимизации дополнительной энергии 6.6.1. Свойства дополнительной энергии

Принцип минимума дополнительной энергии дает возможность на базе вариационного подхода непосредственно построить соотношения податливости элемента, т. е. выражения для параметров перемещения элемента в терминах силовых параметров. Дополнительная энергия П(. конструкции равна сумме дополнительной энергии деформации (У * и потенциала граничных сил V*, соответствующего заданным смещениям, т. е.

Пе=6/* + К*. (6.68)

Принцип можно сформулировать следующим образом: среди всех полей напряжений, удовлетворяющих условиям равновесия внутри тела и равных заданным значениям напряжений на границе тела, поле напряжений, которое удовлетворяет соотношениям между напряжениями и перемещениями и отвечает всем заданным граничным условиям для перемещений, доставляет стационарное значение дополнительной энергии. Таким образом,

6П,=66/ *+бК*=0. (6.69)

В линейной теории упругости величина Г1<. для состояния равновесия минимальна:

Ьт=ЬЮ*+ЬУ*0. (6.70)

Чтобы убедиться в справедливости высказанного утверждения, можно провести те же рассуждения, что и в разд. 6.4 при доказательстве принципа минимума потенциальной энергии. В нашем случае виртуальные перемещения следует заменить на виртуальное поле напряжений, накладываемое на действительное поле перемещений. Замечая, что граничные условия для напряжений должны удовлетворяться и при выбранном виртуальном поле напряжений, приходим к (6.69), т. е. к соотношению 611=0, где дополнительная энергия равна

П, = -1 j o[E]-i(id(vol) -j T-udS. (6.68a)

vol Su

Здесь первый интеграл в правой части равенства равен U *, & второй интеграл равен -V *. Силшолом S помечена поверхность, на которой заданы перемещения и, а Т - соответствующие граничные усилия.

6.6.2. Конечно-элементная дискретизация с использованием узловых сил

Запишем теперь Пс в дискретном виде, чтобы построить конечно-элементное представление. Наиболее простой и известный способ дискретизации - выразить поле напряжений элемента через узловые силы. Это описание можно представить в виде

a=[Z]{Fy}, (6.71)

где {F/} -набор узловых сил, за исключением сил реакции, обеспечивающих статически определимое закрепление элемента. Задание граничных усилий основывается на применении соотношения (6.71). Результат символически запишем в виде, аналогичном (6.56):

T=I£]{F,}.

Заметим, как н в п. 6.5.1, что в общем случае трудно, а подчас и невозможно выписать выражение для Т как функции от узловых усилий {F/}. Однако для балочного и стержневого элементов определить указанное преобразование можно.

Подставляя в (6.68а) выражения для о и Т, полученные из (6.71) и (6.56), найдем

П, = Цт{Р,}-ЬР,ЛЛ}. (6.68Ь)

[f]= 5 [Z7 [£]~4Z]d(vol) (матрица податливости элемента),

- vol

(6.72)

(А}=5 [L]udS, (заданный вектор перемещений элемента).

(6.73)

Как и в случае потенциальной энергии, используя приведенные формулы, можно доказать минимальность величины Пс.

6.6.3. Пример

Применение изложенных выше идей может быть продемонстрировано на примере построения матрицы податливости консольного балочного элемента, изображенного на рис. 6.12. Основное выражение для дополнительной работы в этом случае имеет вид

n,= 2yj(W-LA1,j}.

Заметим, что в качестве напряжения здесь выступает изгибающий момент Ш, а смещения в узлах Wi и 6i играют роль заданных перемещений; при этом IL] - единичная матрица. Из рисунка видно,