6.6. Метод минимизации дополнительной энергии

ЧТО момент изменяется линейно:

Поэтому

=fx+Mx=Lij{J;j=[z]{F,}.

2L 3L 3L 6

Полученные указанным образом матрицы податливости элементов можно либо преобразовать в матрицы жесткости элементов, используя процедуру из разд. 2.6, либо непосредственно использовать при расчетах всей конструкции по методу сил. Когда уравнения податливости элементов выражены через силы, то расчет

Рис. 6.12.

всей конструкции может проводиться с применением матричного метода сил. В этом методе в качестве неизвестных выбираются системы самоуравновешенных сил, причем в эти системы не включаются силы, обеспечивающие статически определимое закрепление конструкции. Как показывается в гл. 7, этот метод расчета всей конструкции вызывает трудности как с точки зрения выбора указанных систем сил, так и выполнения требуемых матричных операций.

6.6.4. Конечно-элементная дискретизация, использующая функцию напряжений

Трудностей, возникающих при применении метода сил, можно в значительной мере избежать, если брать в качестве параметров напряжения или функции напряжений. Так, например, для плоского напряженного состояния выражение дополнительной энергии имеет вид

tdA.

(6.74)

-ху/

Напомним, что, согласно разд. 4.1, напряжения Ох, Оу и Хху можно выразить через производные от функции Эри Ф в следующем виде (см. (4.4)):

1 дхду

Следовательно,

tdA. (6.74а)

Функцию напряжений представим в виде

0=LNJ{0}, (6.75)

где (Ф) - вектор параметров функции напряжений в узлах элемента. Обозначим вектор вторых производных через

1Ф.УУ Ф... -Ф..-С. J=[N 1{®}. (6.76)

Тогда величина U* запишется в следующем дискретном виде:

*=Цт{ФЬ (6.74Ь)

где теперь вместо (6.72) матрица податливости равна

(6.72а)

Существенные преимущества этой формулировки матрицы податливости элемента определяются следующими двумя обстоятельствами. Во-первых, степени свободы узлов связаны со степенями свободы узлов соседних элементов так же, как и в методе жесткости, поэтому построение объединенной глобальной матрицы податливости можно осуществить аналогично тому, как описано в разд. 3.2 для прямого метода жесткости. Таким образом, предложен прямой метод податливости 16.131.

Второе обстоятельство относится к некоторым аспектам двойственности характеристик функций напряжений и перемещений. Однородное дифференциальное уравнение для функции напряжений Эри совпадает с уравнением изгиба пластин для функции прогиба ш при нулевых распределенных нагрузках. Поэтому, если в (6.74а) функция напряжений заменяется на ш, а [E~i - на [Е], то интеграл оказывается равным энергии деформации изгибаемой тонкой пластины. Следовательно, определение функции напряжений (поля Ф) идентично отысканию поля прогибов (поля w) при изгибе пластин, а соответственные матрицы податливости и жесткости различаются лишь коэффициентами упругости заменой [E]~ на

6.7. Гибридный метод допустимых напряжений [6.14-6.15]

6.7.1. Основные положення

Гибридный метод напряжений является подходом к построению матриц жесткости элементов, основанный на обобщении принципа минимума дополнительной энергии. Как и при обсуждении гибридных методов перемещений, ограничимся изложением процедуры построения элемента, окруженного полностью другими элементами. Кроме того, предполагается, что на поверхности элемента и вдоль его границ между узлами силы не действуют. Чтобы получить искомый модифицированный функционал П,. для нашего случая, необходимо лишь видоизменить интеграл по границе в выражении (6.68а) для Ilf.

t=[l]{M

\ Д,- (типичное) \ \ \ \

Рис. 6.13. Предполагаемые поля напряжений и перемещений, используемые в гибридном,методе напряжений, (а) Описание перемещений (поверхностные перемещения выражены через узловые перемещения (Д}); (Ь) описание напряжений (внутренние и поверхностные напряжения выражены через обобщенные параметры (Р/}).

Основа гибридного метода напряжений состоит в задании уравновешенного поля напряжений а внутри элемента через обобщенные параметры {Р/} с одновременным заданием поля перемещений и, характеризующегося межэлементной согласованностью, через узловые перемещения {Л}. Система граничных усилий Т определяется в соответствии с а. Таки.м образом, указанная система выражается через {Р/} (рис. 6.13). Модифицированное выражение для

[Е]. Двойственные функции напряжений могут быть определены и для других ситуаций (например, функции напряжений Саусвелла для изгибаемых пластин двойственны смещениям в плоскости для плоского напряженного состояния). Из этого следует, что многие аспекты построения матрицы жесткости элемента, сформулированные сначала в терминах предполагаемых согласованных полей перемещений, переносятся и на метод сил (податливости). Мы еще вернемся к этому вопросу в последующих главах.