Тел. ОАО «Охрана Прогресс»
Установка Видеонаблюдения, Охранной и Пожарной сигнализации.
Звоните! Приедем быстро! Установим качественно! + гарантия 5 лет.
 
Установка технических средств охраны.
Тел. . Звоните!

Главная  Проектирование конструкций 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59  60  61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

дополнительной работы имеет вид

П? = 1 J о [E]- ad (vol )-J T-ud5. (6.68c)

vol Sn

Чтобы представить П? в дискретном виде, запишем сначала предполагаемое поле напряжений в терминах обобщенных параметров {Р/}:

a=[Z]{P,}. (6.77)

Еще раз заметим, что напряжения описываются параметрами, которые исключают члены, отвечающие движению тела как твердого целого. Указанное обстоятельство обусловлено тем, что а - уравновешенное поле напряжений. Это можно показать и другим способом. Действительно, заметим, что в том случае, когда напряжения вначале определяются с помощью поля функции напряжения (см. (4.4) и (6.76)), то это поле содержит параметры {Р}, которые, однако, пропадают после дифференцирования по формулам (4.4).

Усилия на границе элемента Т можно легко выразить в терминах {Ру}, вычисляя вдоль границы величины, входящие в (6.77). Эта процедура входит и во второй гибридный энергетический метод и поэтому из (6.61) имеем T=[Ll{p/}. Окончательно заметим еще раз, что независимо задаваемые граничные перемещения и связаны с узловыми перемещениями с помощью соотношений (6.17): и=

=т{А}.

Используя выражения (6.77), (6.61) и (6.17) для а, Т и и, запишем (6.68с) в дискретном виде:

[ ] =

J[Zf [E]-4Z]d>ol)

(6.68d) (6.78)

и аналогично (6.62)

[/] =

Варьируя (6.68d) по {P/}, находим

или 1Р/} = [ ]-Ч/]{А}.



Подставляя полученное выражение в (6.68с1), окончательно имеем

[k] = [/f

(6.79)

6.7.2. Пример

Иллюстрируя этот подход на примере балочного элемента, заметим, что роль поля напряжений здесь играет распределение изгибающего момента Ш, а

(/ =2J(5m)Mx, [я] =

Так как изгибающий момент в нашем случае меняется линейно, имеем

в соответствии с представленным на рис. 6.14 распределением находим Mi=pi, -M,=Pi+p2L, Fi=2. /2=-Рг- Следовательно,

О Г

1 О О -1

L-1 -LJ

где и= Li 012 08 J(IKI - единичная матрица).

Рис. 6.14.


*> Следует отметить, что ранг матрицы жесткости [к] будет неполным, если число параметров (Д) превышает число членов (Р/} более, чем на число степеней свободы, отвечающих движению тела как твердого целого. Формула (6.79) предполагает, что на соотношение размерностей векторов не накладываются ограничения.

7 N) 2547



&Е1 ЗЬ

Легко проверить, что обычное выражение для матрицы жесткости элемента можно получить, используя приведенные в (6.79) матрицы [Я] и [/].

6.8. Энергетический метод Рейсснера и альтернативные функционалы

6.8.1. Основные положения

В гибридных методах, основанных на концепции мультиполей в принципах минимума модифицированной потенциальной и дополнительной энергии, внутри элемента используется одно поле, а на границах элемента - другое независимое поле или два независимых поля. Можно, однако, использовать вариационный принцип, которому внутренне присуще понятие мультиполей. При этом подходе соответствующие поля перемещений и напряжений одновременно задаются для всего элемента.

Применение метода Галеркина из разд. 5.5 к вспомогательным уравнениям упругости, а не к комбинации дифференциальных уравнений (равновесия или совместности) приводит к выражениям с одновременным участием двух полей. Ниже эта же формулировка рассматривается с других позиций, а именно: строится функционал, в который входят два поля, и доказывается, что уравнения Эйлера для этого функционала представляют собой соответствующие вспомогательные уравнения теории упругости. Так как вспомогательные уравнения можно записать различными путями, существует несколько функционалов, в которые входят два поля. Здесь рассматривается функционал Рейсснера (П) [6.16], которому в методе конечных элементов уделяется особое внимание.

Этот функционал можно выписать, исходя из выражения для потенциальной энергии. Исключая снова из рассмотрения начальные деформации и объемные силы, заметим, что по определению

V* + U = a-&d(vo\) (6.80)

или t/= J 0-8d(vol) -(6.80a)

где дополнительная энергия деформации U* задается первым интегралом, входящим в правую часть выражения (6.68а). Под-

Подставляя выписанные соотношения в соответствующее выражение для Wp, получим

6L 3L




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59  60  61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139



Установим охранное оборудование.
Тел. . Звоните!