дополнительной работы имеет вид

П? = 1 J о [E]- ad (vol )-J T-ud5. (6.68c)

vol Sn

Чтобы представить П? в дискретном виде, запишем сначала предполагаемое поле напряжений в терминах обобщенных параметров {Р/}:

a=[Z]{P,}. (6.77)

Еще раз заметим, что напряжения описываются параметрами, которые исключают члены, отвечающие движению тела как твердого целого. Указанное обстоятельство обусловлено тем, что а - уравновешенное поле напряжений. Это можно показать и другим способом. Действительно, заметим, что в том случае, когда напряжения вначале определяются с помощью поля функции напряжения (см. (4.4) и (6.76)), то это поле содержит параметры {Р}, которые, однако, пропадают после дифференцирования по формулам (4.4).

Усилия на границе элемента Т можно легко выразить в терминах {Ру}, вычисляя вдоль границы величины, входящие в (6.77). Эта процедура входит и во второй гибридный энергетический метод и поэтому из (6.61) имеем T=[Ll{p/}. Окончательно заметим еще раз, что независимо задаваемые граничные перемещения и связаны с узловыми перемещениями с помощью соотношений (6.17): и=

=т{А}.

Используя выражения (6.77), (6.61) и (6.17) для а, Т и и, запишем (6.68с) в дискретном виде:

[ ] =

J[Zf [E]-4Z]d>ol)

(6.68d) (6.78)

и аналогично (6.62)

[/] =

Варьируя (6.68d) по {P/}, находим

или 1Р/} = [ ]-Ч/]{А}.

Подставляя полученное выражение в (6.68с1), окончательно имеем

[k] = [/f

(6.79)

6.7.2. Пример

Иллюстрируя этот подход на примере балочного элемента, заметим, что роль поля напряжений здесь играет распределение изгибающего момента Ш, а

(/ =2J(5m)Mx, [я] =

Так как изгибающий момент в нашем случае меняется линейно, имеем

в соответствии с представленным на рис. 6.14 распределением находим Mi=pi, -M,=Pi+p2L, Fi=2. /2=-Рг- Следовательно,

О Г

1 О О -1

L-1 -LJ

где и= Li 012 08 J(IKI - единичная матрица).

Рис. 6.14.

*> Следует отметить, что ранг матрицы жесткости [к] будет неполным, если число параметров (Д) превышает число членов (Р/} более, чем на число степеней свободы, отвечающих движению тела как твердого целого. Формула (6.79) предполагает, что на соотношение размерностей векторов не накладываются ограничения.

7 N) 2547

&Е1 ЗЬ

Легко проверить, что обычное выражение для матрицы жесткости элемента можно получить, используя приведенные в (6.79) матрицы [Я] и [/].

6.8. Энергетический метод Рейсснера и альтернативные функционалы

6.8.1. Основные положения

В гибридных методах, основанных на концепции мультиполей в принципах минимума модифицированной потенциальной и дополнительной энергии, внутри элемента используется одно поле, а на границах элемента - другое независимое поле или два независимых поля. Можно, однако, использовать вариационный принцип, которому внутренне присуще понятие мультиполей. При этом подходе соответствующие поля перемещений и напряжений одновременно задаются для всего элемента.

Применение метода Галеркина из разд. 5.5 к вспомогательным уравнениям упругости, а не к комбинации дифференциальных уравнений (равновесия или совместности) приводит к выражениям с одновременным участием двух полей. Ниже эта же формулировка рассматривается с других позиций, а именно: строится функционал, в который входят два поля, и доказывается, что уравнения Эйлера для этого функционала представляют собой соответствующие вспомогательные уравнения теории упругости. Так как вспомогательные уравнения можно записать различными путями, существует несколько функционалов, в которые входят два поля. Здесь рассматривается функционал Рейсснера (П) [6.16], которому в методе конечных элементов уделяется особое внимание.

Этот функционал можно выписать, исходя из выражения для потенциальной энергии. Исключая снова из рассмотрения начальные деформации и объемные силы, заметим, что по определению

V* + U = a-&d(vo\) (6.80)

или t/= J 0-8d(vol) -(6.80a)

где дополнительная энергия деформации U* задается первым интегралом, входящим в правую часть выражения (6.68а). Под-

Подставляя выписанные соотношения в соответствующее выражение для Wp, получим

6L 3L