6.9. Некоторые заключительные замечания

В этой главе показано, что существует целый ряд независимых подходов к построению уравнений податливости, жесткости, а также смешанных уравнений для элемента. Эти альтернативные подходы вытекают в основном из принципов стационарности потенциальной и дополнительной энергии и смешанных энергетических принципов. Внутри каждого подхода также существуют различные формулировки, обусловленные предположениями о характере полей в совокупности со смягчением (релаксацией) определенных условий для основных типов энергетических принципов.

Хотя метод, основанный на принципе стационарности потенциальной энергии (метод виртуальных перемещений), является преобладающим подходом при формулировке соотношений между силами и перемещениями для элемента, он все же не самый удобный. Во многих случаях на практике трудно выбрать поле внутри элемента, которое бы отвечало всем условиям согласованности при переходе через границу, которые вытекают из характера соединения соседних элементов. Примером этому служат изгибаемые элементы, для которых на границе элементов должны быть непрерывны не только поля, но и производные от функций, задающих эти поля (угловые смещения). Не существует полей перемещений простого вида, которые отвечали бы этим требованиям.

По этой причине нередко построение соотношений для элемента пластины при изгибе осуществляется выбором поля перемещений, которое непрерывно внутри элемента, а не при переходе через границу соседних элементов. Принцип минимума потенциальной энергии справедлив при формулировке соотношений для отдельного элемента, однако решение в случае глобального представления не соответствует строгому применению принципа минимума потенциальной энергии из-за разрывности перемещений вдоль границ смежных элементов.

Аналогичные трудности встречаются и при формулировке соотношений для элемента на основе принципа минимума допол-

В работах [6.4, 6.8, 6.17-6.19] и др. описаны более общие вариационные принципы, из которых вытекают принципы стационарности потенциальной и дополнительной энергии и функционала Рейсснера. Так, к одной из альтернативных формулировок можно прийти, если выразить из (6.80) величину U*, подставить ее в (6.68) при одновременном учете граничных условий в виде (6.82). Альтернативные формулировки элементов, вкладываемые в указанные более общие виды функционалов, в той или иной степени использовались в разд. 6.5 и 6.7.

6.9. Некоторые заключительные замечания 199

нательной энергии, особенно в том случае, когда поле напряжений внутри элемента описывается полями функций напряжений. В этом случае можно провести параллель с процессом построения соотношений на базе принципа минимума потенциальной энергии, и все возникающие при этом трудности переносятся на соответствующие формулировки для принципа минимума дополнительной энергии.

Альтернативой к формулировкам на базе принципов минимума потенциальной и дополнительной энергии с непрерывными и разрывными полями на границе соседних элементов служат подходы, вытекающие из принципов минимума обобщенной потенциальной и дополнительной энергии, применение гибридных подходов и функционала со многими полями. Метод, опирающийся на принцип минимума обобщенной потенциальной энергии, используемый при построении соотношений для отдельного элемента, дает корректирующую матрицу жесткости элемента. В гл. 7 показано, что уравнения, соответствующие этой матрице, можно использовать и в глобальном конечно-элементном представлении, полученном на базе принципа минимума потенциальной энергии с разрывными вдоль границ элементов полями перемещений.

В гибридных методах используются не только обобщенные формулировки известных энергетических принципов, но и представление характеристик элемента с помощью нескольких полей. Например, внутри элемента задается один вид поля перемещений и (или) напряжений, на границе элемента задается независимо в другой форме поле напряжений и (или) перемещений. Все поля, за исключением одного, задаются в терминах обобщенных параметров. Последнее поле выражается в терминах физических степеней свободы. Соответствующее энергетическое выражение (модификация потенциальной и дополнительной энергии) записывается вначале в терминах обоих классов параметров и требуется выполнение условий стационарности для набора обобщенных параметров. В результате приходим к системе уравнений для обобщенных параметров, выраженных в терминах физических степеней свободы. Эти соотношения используются для исключения обобщенных параметров из выражения для энергии. Получающееся в результате выражение для энергии содержит в этом случае искомую матрицу жесткости или податливости в обычной форме.

Вариационные принципы с использованием мультиполей приводят непосредственно к смешанному виду соотношений между силами и перемещениями для элемента. Так как уравнения Эйлера для этих функционалов являются уравнениями, лежащими в основе теории упругости, включающими производные низких порядков, требование к непрерывности задаваемых полей ниже, чем при подходах, использующих вариационные принципы.

Приведем, как и в разд. 5.4, сводку преобразований, применя-

200 6 Вариационные методы построения конечных элементов

емых в предшествующих формулировках элементов Эти преобразования, которые при описании величин граничных усилий или перемещений помечены черточкой сверху, при формулировке соотношений для элемента считаются известными в каждом конкретном случае Кроме того, силы и перемещения помечаются нижними индексами / и s, при этом матрицы преобразования соответствующим образом разбиваются на подматрицы, если необходимо раз личать степени свободы, отвечающие соответственно неподвижному закреплению элемента и незакрепленному элементу

Преобразование обобщенных силовых параметров в поле на

пряжений

о=[21{РЛ (6 77)

Преобразование узловых напряжений в поле напряжений

a=lZi{F/} (6 71)

Преобразование обобщенных силовых параметров в граничные усилия

T=(L]{P,} (6 61)

Преобразование узловых сил в граничные усилия

Т=Ш{Р,} (6 56)

Преобразование обобщенных параметров смещения в граничные смещения

u=(Yl{a} (6 55)

Преобразование смещений в граничные смещения

и=(К1{Л}. (6 17)

Литература

6 1 Михлин с Г Вариационные методы в математической физике - М Гос техтеориздат, 1957

6 2 Schecter R The Variational Method in Engineering - New York N Y

McGraw Hill Book Co 1967 6 3 Langhaar H L Energy Methods ш Applied Mechanics -New York, N Y

John Uiley & Sons Inc , 1962 6 4 Uashizu К Variational Methods in Elasticity and Plasticity-Oxford Per

gamon Press 1968

6 5 Strang G , Fix G An Analysis of the Finite Element Method -Englewood Cliffs, N J Prentice Hall Inc 1973 [Имеется перевод Стренг Г , Фикс Дж Теория метода конечных элементов - М Мир, 1977, 349 с ]

6 6 long Pin New Displacement Hybrid Finite Element Model for Solid Conti nua -Int J Num Meth Eng 1970, 2, p 73-83

6 7 McLay R W A Special Variational Principle for the Finite Element Me thod-AIAAJ , Mar 1969 7 No 3, p 533-534 [Имеется перевод Ракет нал техн н космон - М Мир, 1969, № 3 J

6 8 Kikuchi F , Ando Y New Variational Functional for the Finite Element Me-