Задачи

thod and Its Application to Plate and Shell Problems -Nuc Eng Design, 1972, 21, p 95-113

6 9 Greene R E , Jones R E , McLay R W , Strome D R Generalized Variational Principles in the Finite Element Method -AIAA J July 1969, 7, No 7, p 1254-1260 Имеется перевод Ракетная техн и космон , 1969, № 7

6 10 Наг\еу J W , Kelsey S Triangular Plate Bending Element with Enforcec Compatibility-AIAA J , 9, No 6 June 1971 p 1023-1026 [Имеется перевод Ракетная техн и космон - М Мир, 1971, №6 ]

6 11 PianT Н H.TongPin Basis of Finite Element Methods for Solid Continua- Int J Num Meth Eng , 1969, 1, No 1, p 3-29

6 12 Plan T H H Hybrid Models -In Numerical and Computer Methods in Structural Mechanics, S J Fenves, et al (ed ) -New York, N Y Academic Press, 1973

6 13 Gallagher R H , Dhalla A Direct Flexibility Finite Element Analysis - Proc of First Int Conf on Struct Mech in Nuclear Reactor Tecnology Berlin, 1971

6 14 Plan T H H Derivation of Element Stiffness Matrices by Assumed Strees Distributions-AIAA J , 1964 2 p 1333-1336 [Имеется перевод Ракетная техн и космон - М Мир 1964 ]

6 15 Plan Т Н Н Element Stiffness Matrices for Boundary Compatibility and Prescribed Boundary Stresses-Proc of Conf on Matrix Methods in Struct Mechanics, AFFDL TR 66 80, 1965, p 457-477

6 16 Reissner E On a Variational Theorem in Elasticity -J Math Phys , 1950, 29, p 90

6 17 Fraeijs de Veubeke В Displacement and Equilibrium Models in the Finite Element Method, Chapter 9 Stress Analysis, О С Zienkiewicz and Q Holis-ter (ed ) -London John Wiley, Ltd , 1965

6 18 Prager W Variational Principles of Linear Elastostatics for Discontinuous Displacements, Strains, and Stresses -In Recent Progress in Applied Mechanics The F Odqvist Volume -New York John Wiley & Sons, Inc , 1967, p 463-474

6 19 Sewell M J On Dual Approximation Principles and Optimization in Continuum Mechanics -Phil Trans , Royal Soc of London, 13 Nov 1969, 265, No 1162, p 319-351

Задачи

6 I. Проверьте справедливость принципа виртуальных сил 6U*=-6V, где U* - дополнительная энергия деформации При этом виртуальное поле напряжений ба должно удовлетворять всем граничным условиям в напряжениях 6 2. Найдите энергетически эквивалентные нагрузки в узлах стержневого элемента для распределения нагрузок, задаваемого формулой q=q(,(\-{x/L)) 6 3 Постройте согласованную матрицу массы для простого изгибаемого балочного элемента

6 4 Постройте согласованную матрицу массы [ш] для треугольного элемента из изотропного материала в случае плоского напряженного состояния (см рис 5 3), где р - масса, приходящаяся на единицу объема При этом геометрические

характеристики треугольного элемента обозначаются символом / я,= \ x y dA.

6 5. Нагрузки, распределение которых показано на рис Р6 5, приложены к грани элемента, перемещение которого задается следующей линейной функцией

Вычислите энергетически эквивалентные силы в точках 1 и 2.

Рис. Р6.5.

6.6. Нагрузки, введенные в задаче 6.5, приложены к грани элемента, перемещение которого задается следующей квадратичной функцией:

Вычислите энергетически эквивалентные силы в точках 1, 2 и 3.

6.7. Определите вектор термоупругих сил, действующих в направлении х, для треугольного элемента, изображенного на рис. 5.3, если в элементе распределенне

температуры имеет вид NjYi, где Ni - функция формы для элемента, а

1 =1

Г,- - значения температуры в узлах.

6.8. Найдите энергетически эквивалентные узловые силы и моменты для балочного элемента длиной а, находящегося под действием поперечной нагрузки q, распределение которой показано в задаче 6.5.

6.9. Найдите энергетически эквивалентный вектор сил для равномерно нагруженного треугольного элемента с шестью узлами, изображенного на рис. Р6.9, поле

Рис. Рв.9.

перемещении которого записывается в виде

Л, = [xlyl + 2у1х+Чх1у-Зху1х+2хузху- /2х1уа), Ni = (2у1х - xylx + 4ixiy - 2хф,ху + Ух{уаУ), N3 = (2xly-xlysy), N, = Цхха1-у1х - ixlyy + yxly),

5 = 4(W4-V2ДcV)

Nt = 4(xly3y~XiyiXy-/ixly),

6.10. Укажите член, связывающий Р, и ai в согласованной матрице массы для элемента, описанного в задаче 6.9. Толщина элемента t, масса, приходящаяся на единицу объема, равна р.

6.11. Потенциальная энергия скручиваемого элемента задается следующим выражением:

dx- \ M-(dx,

гле J и Г - соответственно константы кручения и депланации; G - модуль сдвига, ф - угол закрутки М - скручивающий момент, приходящийся на единицу длины элемента. Выпишите уравнение Эйлера для функционала и соответствующие граничные условия.

6.12. Для системы, характеризуемой двумя параметрами (Aj, Aj) и к которой приложена сила Р, потенциальная энергия равна Пр=(6-ЗЯ)Д-5 (1-P)AiA2-b

+(4-Р)Д2. Вычислите значение Я, соответствующее нейтральному равновесию.

6.13. Постройте (ЗХЗ)-матрнцу жесткости для стержневого элемента (рис. Р6.13) с тремя узлами, в котором поле перемещений имеет вид

и= I(2a:-L) (x~L) Ui +4 (L-xu + xix-V) Ug]-

Сведите эту матрицу к обычной (2х2)-матрице жесткости стержневого элемента.

х,и 2

Рис. Р6.13.

.Lit

-Lll-

6.14. Приближенно найдите матрицу жесткости для стержневого элемента, изображенного на рис. Р6.14, используя линейное поле перемещений

=(l x/L)u,+(x/L)u2

и принцип минимума потенциальной энергии. Конструктивный элемент имеет постоянную ширину, равную Ь.

Рис. Р6.14.

6.15. Выпишите матрицу жесткости прямоугольного элемента для плоского напряженного состояния, введенного в задаче 5.2, используя приведенное там же поле перемещений и принцип минимума потенциальной энергии. Сравните полученные результаты с результатами, приведенными на рис. 9.13.

6.16. Постройте матрицу податливости треугольного элемента для плоского напряженного состояния (см. рис. 5.3), используя гибридный метод перемещений. Наложите условия закрепления ai=Ci=y2=0. Сравните полученную матрицу с матрицей из задачи 2.3.

6.17. Сформулируйте точную матрицу податливости для суживающегося балочного элемента, изображенного на рис. Р6.17, используя принцип минимума до-