матрицей жесткости, записанной в терминах степеней свободы, из числа которых исключены степени свободы, отвечающие неподвижному статически определимому закреплению элемента. Более того, видно, что преобразование, задаваемое правой частью соотношения (7.5), освобождает отдельный элемент от соответствующего закрепления.

Вернемся к рассмотрению общей теории представления потенциальной энергии всей конструкции. Построение потенциальной энергии завершается заданием потенциала сил V. Простейшая ситуация возникает тогда, когда на каждую степень свободы приходится сосредоточенная нагрузка {Р}. В этом случае

l/=-LAJ{P}. (7.6)

Если имеются распределенные нагрузки, то произведение, представленное правой частью выражения (7.6), получается после интегрирования произведения векторов распределенной нагрузки и соответствующих перемещений. Последние задаются путем вычисления поля перемещений связанных элементов на рассматриваемом участке границы. Как показано в гл. 6, эти интегралы определяются отдельно для каждого из элементов и результирующие произведения векторов суммируются, что и приводит к глобальному произведению векторных величин в виде (7.6).

В разд. 6.4 показано, что потенциальная энергия Пр выражается в виде

Пр=и+У, (7.7)

и после подстановки выражений для f/ и V из (7.4) и (7.6) имеем np=v,LAJ[Kl{A}-LAJ{P}. (7.8)

Применяя к этому выражению необходимое условие минимума, т. е.

{dUp/d\}=0. (7.9)

получим

[К1{Д}={Р}. (7.10)

Следует отметить одно важное методологическое различие между изложенной выше методикой и прямым методом жесткости. Прямой метод жесткости позволяет получить каждое уравнение, непосредственно рассматривая равновесие узловых сил для каждой степени свободы. В подходе, основанном на принципе минимума по е шиальной энергии, те же уравнения получаются в результате сложения энергий каждого элемента с учетом ключевой матрицы, позволяющей связать локальные и глобальные степени свободы,- матрицы 1А\. Последняя методика особенно ценна в ситуациях, чогда силовые параметры, соответствующие определенным типам тепеней свободы, не имеют ясно выраженного физического смысла

(например, для степеней свободы в виде производных высших порядков от перемещений).

В начале гл. 6 отмечалось, что многие положения конечно-элементного анализа можно трактовать лишь на основе энергетических концепций. Для метода, основанного на использовании потенциальной энергии, это значит, что энергии деформации отдельных элементов суммируются согласно (7.1), а потенциал приложенных нагрузок выписывается непосредственно по заданным силам. Процедура построения глобальной матрицы жесткости в этом случае совпадает с процедурой построения матрицы в прямом методе жесткости. Однако здесь нет необходимости вводить такие понятия, как силы в узлах элемента, потенциал этих сил (- \ } {}) и операции, связанные с построением соотношений жесткости путем непосредственного рассмотрения условий равновесия в узлах для каждой степени свободы. Аналогичным образом с помощью энергетических методов можно построить глобальные конечно-элементные соотношения для всех описанных в гл. 6 классических, смешанных и гибридных принципов.

Кроме того, на вычислительной стадии конечно-элементного анализа можно ввести процедуру [7.1], учитывающую, что потенциальная энергия на решении достигает минимального значения. Из соотношения (7.8) видно, что Пр - квадратичная функция переменных Дь . . ., Д , и условие, что решение отвечает равновесию системы, совпадает с условием минимума функционала Пр. Существует много надежных алгоритмов нахождения набора параметров, доставляющих минимум квадратичной функции от этих параметров. Так как описание математических алгоритмов не входит в задачу этой книги, обзор указанных алгоритмов не приводится. Читателю рекомендуется обратиться к работам [7.1] и [7.2]. Отметим, однако, одну особенность данного подхода. В действительности можно построить глобальные кинематические матрицы, объединяющие кинематические матрицы элементов, на основе поэлементного учета матриц, т. е. в виде

{Л}=[Л]{А}, (7.11)

где величина (А} введена для обозначения вектора внешних степеней свободы для t-ro элемента. Тогда выражение (7.1) примет вид

= Z L А J [A-V [к] [А] {Щ. (7.12)

Используя это представление, можно вычислить скалярную величину и, не выписывая глобальных матриц [К] и [А]. Это делается для того, чтобы исключить операции с нулевыми матрицами, обусловленные соотношением (7.5).

Приближенное значение потенциальной энергии для той же силы равно

П,. . = - РН)

Приближенное значение Пр лежит правее, чем точное значение, так как точное значение есть минимум. Замечая, что Пр - отрицательная величина, из сравнения (7.13) и (7.14) находим, что значение fa должно быть меньше значения , а именно

эрргох 6ХЭС1

fa ,>fii . (7.15)

exact approx

откуда следует, что решение, полученное на основе принципа минимума потенциальной энергии, дает нижнюю границу для коэффициента податливости, стоящего на главной диагонали.

Чтобы проиллюстрировать высказанные выше утверждения, рассмотрим вначале конструкцию, составленную из двух стержней (см. рис. 7.1). В этом случае потенциальная энергия равна

Пр=/,(АЕ/1) и-Ри.

На рис. 7.2 изображена величина Пр в зависимости от значений, принимаемых и. Если, например, оценим ичРЕ/АЕ, то

Пр=-У1,(р1иае),

в то время как для U2=P2EIAE получим

Пр=-/4 iPlLIAE).

7.2. Решение, полученное на основе принципа минимума потенциальной энергии,- нижняя граница решения

Численное решение, удовлетворяющее всем условиям минимума потенциальной энергии, называется нижним граничным решением, так как найденные численно значения энергии деформации и коэффициентов, стоящих на главной диагонали матрицы податливости, не превосходят значений для точного решения (т. е. получаемого при бесконечном числе элементов).

Высказанное утверждение можно легко проиллюстрировать, рассмотрев коэффициент податливости fa, стоящий на главной диагонали матрицы податливости. При возрастании величины силы Pi от нуля до текущего значения (при отсутствии других сил) производится работа PiAi/2, равная внутренней энергии деформации U. Потенциал приложенных сил есть -PjA;, поэтому точноэ значение потенциальной энергии равно