Далее необходимо выписать выражение для работы V*, совершаемой на заданных полях перемещений. Для простоты исключим случай ненулевых перемещений. Считаем, что число степеней свободы в узлах, соответствующих точкам опоры, равно нулю. Поэтому вклад этих слагаемых в V* равен нулю. В соответствии с традиционными положениями анализа, учитывающего дополнительные силы, рассмотрим только сосредоточенные, прикладываемые к узлам силы Pi. Однако при рассмотрении указанных сил временно допустим, что соответствующие степени свободы А; заданы и далее в процессе решения трактуются как варьируемые параметры. Следовательно,

Подставляя полученное выражение в (7.28) и проводя выкладки с учетом, что n=t/* + y* (см. (6.68)), получим

=ш J i г f4 т {Р} + L г J т {P}+

+ -Ц[А] г J [D,]{Fr]-L Р J {A}. (7.30)

Чтобы найти стационарное значение величины П, выполним варьирование правой части (7.30) по всем параметрам, как {Р}, так и {F,}. Тогда

XDJi-J[ih] \ №]Т rfM [Ж]

Решение нижней части уравнения дает

(F}=-[ID,1 Г J ШТ Г J IД1] {Р}. (7.32)

и после подстановки в верхнюю часть уравнения приходим к выражению

{Р} = {А}, (7.33)

окончательному решению задачи, эта система будет связана с несогласованным деформированным состоянием. Силы {F} представляют собой амплитуды самоуравновешенных сил. Число этих сил равно числу статически неопределимых степеней свободы в рассматриваемой задаче.

Как показано в разд. 3.3, выбор дополнительных сил, а также построение соотношений, связывающих внутренние силы с приложенными нагрузками и дополнительными силами, можно осуществить, оперируя глобальными уравнениями статики (3.15), т. е. {Р}=1В] {F}. Кроме того, для этих целей можно использовать физические соображения. В любом случае в результате получим уравнения

{F\=[DilD,]\A. (3.15d)

где объединенная глобальная матрица податливости имеет вид

[F] = [[DxY Г J [Dx]-[D,Y Г J [D,][[DYX

X rimrlDYl-i m]{P}. (7.33a)

Поле внутренних сил (и силы реакции опоры, если они входят в {F}) можно найти, подставляя (7.32) в (3.15d). Имеем

{F}=[[DJ-[DJ [[D,r Г J ШЦ-ШЧ J Ш] {P}. (7.34)

Прикладываемые узловые силы рассматриваются теперь как известные величины.

Будет показано, что в сравнении с жесткостным анализом приведенный выше анализ податливости требует большего числа следующих друг за другом матричных преобразований. Еще более значительны оказываются затраты на построение соотношений (3.15d), исходя из значения матрицы [В]. Согласно методике, описанной в разд. 3.3, матрица [В] формируется из уравнений равновесия для каждой степени свободы. Поэтому в [В] то же число строк, что и число уравнений в пря.мом методе жесткости. Заметим, что метод исключения Гаусса - Жордана есть по существу метод обращения матриц, поэто.му затраты на выполнение этих операций соответствуют затрата.м на построение обратной к .матрице [К], т. е. объединенной глобальной матрицы жесткости.

Способ, позволяющий избежать перечисленные трудности, должен использовать, как предложено в разд. 6.6, функции напряжений в качестве параметров поля напряжений. Согласно этой схеме, дополнительная энергия деформации t-ro элемента имеет вид

/ *=( ф, j/2)[M {ф<}, (6.74Ь)

где для плоского напряженного состояния величина {Ф} содержит в качестве параметров значения функции напряжений Эри и соответствующие производные в узлах элемента (см. (6.75)). Для других типов напряженного состояния используются другие функции напряжений. В нашем случае податливость элемента [fl определяется согласно (6.72а).

Непрерывность поля напряжений при переходе через границы элементов - если поля напряжений элементов допускают непрерывное задание - достигается приравниванием значений параметров функций напряжений в узлах соединений элементов. (Поля напряжений в элементах могут быть записаны через узловые параметры функции напряжений, но в такой форме, что будет нарушаться непрерывность усилий при переходе через границу между элементами. Такие элементы можно также объединить, приравнивая параметры функции напряжений в узлах, однако с их помощью нельзя получить правильное конечно-элементное представление величины дополнительной энергии.) Эту процедуру можно осуществить аналогично

ТОЙ, которая ука.зана в разд. 3.2 для метода жесткости. Таким образом, строится процедура прямого метода податливости. Представим полученную глобальную (для р элементов) дополнительную энергию деформации U* в виде

fy. = X f/. = L /=- J {ФЬ (7.35)

1 = 1

где [F] - глобальная матрица податливости, соответствующая функциям напряжений (а не силам), а {Ф} - вектор глобальных параметров функции напряжений. Кроме того, U* можно выписать, используя приведенную в разд. 3.3 схему конгруэнтных преобразований.

Важно учесть тот факт, что дополнительная энергия деформации элемента О* строится по полю напряжений а, задаваемому с помощью производных соответствующего порядка от поля функции напряжений Ф (см. (6.74) и (4.4)). Например, порядок производных для случая плоского напряженного состояния равен двум. Следовательно, и* определяется с точностью до членов, которые исчезают в результате дифференцирования. Ситуация совпадает с той, которая возникает для конечно-элементного представления с использованием перемещений, когда нельзя выделить движение тела как твердого целого из-за выполняемых для определения поля деформации е операций дифференцирования перемещений \.

Чтобы удовлетворить указанному выше требованию, можно зафиксировать достаточное число узловых силовых параметров, чтобы получить статически определимые неподвижные условия закрепления. К примеру, было замечено, что функция напряжений Эри для плоского напряженного состояния двойственна поперечным смещениям в теории изгиба тонких пластин, в которой для реализации требуемых условий закрепления следует фиксировать три соответствующим образом выбранные степени свободы. Отсюда следует, что аналогичным образом в случае плоского напряженного состояния достаточно зафиксировать три силовых параметра.

Совершенно необязательно, чтобы зафиксированные степени свободы, скажем Ф;, включались непосредственно в дополнительную энергию деформации подстановкой Ф;=0 в U*. Можно ввести эти ограничения с помощью обсуждавшейся в разд. 7.3 процедуры множителей Лагранжа. В этом разделе было также показано, что если ограничения делают систему статически определимой и эти ограничения учитываются с помощью метода Лагранжа, то в этом случае в основной матрице [F] необязательно подавлять степени свободы, отвечающие движению тела как твердого целого. Учет приложенных сил приводит к системе ограничений, и если прикладываемые нагрузки самоуравновешены, то для рассматриваемых целей этих соотношений достаточно.